[译] – 投影矩阵的推导

原帖地址：

http://www.codeguru.com/cpp/misc/misc/math/article.php/c10123__1/Deriving-Projection-Matrices.htm

译文：

矩阵变换作为3d图形程序员的基本知识，投影矩阵是其中很复杂的内容。平移和缩放是容易理解的，旋转矩阵只需要掌握了基本的三角几何知识，但是投影 矩阵不一样。如果你看过投影矩阵的形式，你会发现你很难很快知道它是怎么来的。而且，我在网上没有发现很多有关推导投影矩阵的资源。本文就是讲述如何推导 投影矩阵。

对于新接触3d图形学的人来说，推导投影矩阵需要有一定的数学基础，但不是必须的。你可以直接使用最后的公式，如果你使用一种图形API，如 Direct3D，通常你不需要关心，因为API已经提供了计算投影矩阵的功能。一旦你理解了如何推导它，这对你没有坏处。这篇文章为了那些需要了解推导 投影矩阵细节的人的。

简介：什么是投影

计算机显示器是一个2d表面，为了显示3d物体，你需要把3d的物体转化成2d的图片，这个过程就是投影。举一个简单例子，最简单的把3d物体变到2d表面上的方法是去掉z坐标。对于1个立方体，如下图1。

图1：去掉z坐标投影到xy平面

当然，图1方法很简单，大多数情况不适用。这里不会投影到一个平面上，相反，这里讲的投影会把物体变换到一个规范的是视空间(canonical view volume这个是叫什么？)。对于规范的视空间的坐标，不同图形API可能不同。作为讨论起见，这里使用Direct3D的，即(-1, -1, 0)到(1, 1, 1)。一旦物体的坐标转换到了规范的视空间里面，其中的x、y坐标就用于映射到屏幕空间，z坐标一般用于z-buffer。

注意图1使用了左手坐标系。这也是Direct3D的形式，本文将一直使用左手坐标系。对于右手坐标系，本文讲述的知识都是适用的。

现在可以开始讲投影变换了。这里主要讲述2中最普遍的形式：正投影和透视投影。

正投影

正投影是一种简单的投影形式，要求所有的投影射线垂直于投影面。正投影最终的规范视空间是一个AAB(axis-aligned box)，如下图2。

图2:正投影

从图中可以看出，规范的视空间是由6个面组成的：

左：x = l

右：x = r

下：y = b

上：y = t

近：z = n

远：z = f

由于正投影的视锥(view volume)和规范视空间(canonical view volume)都是AAB，所以不会有像透视投影那样随距离变化的特性。对于正投影，所有的物体的大小不会变化，而且不会随着距离变化。

图3：简单的正投影应用（原文里的图 转帖者添加）

下面开始推导正投影矩阵。一个在view volume中的点的x坐标在[l, r]，这需要变换到canonical view volume中的[-1, 1]。

l <= x <= r

0 <= x-l <= r-l

0 <= (x-l)/(r-l) <= 1

0 <= 2(x-l)/(r-l) <= 2

-1 <= 2(x-l)/(r-l) – 1 <= 1

-1 <= (2x-r-l)/(r-l) <= 1

最后你需要得到px+q的形式，所以分解成:

-1 <= 2x/(r-l) – (r+l)/(r-l) <= 1

所以得到了在canonical view volume中的x坐标：

x\’ = 2x/(r-l) – (r+l)/(r-l)

同理得到在canonical view volume中的y坐标：

y\’ = 2y/(t-b) – (t+b)/(t-b)

最后来推导z\’的公式。在view volume中的点的z坐标在[n, f]，需要变换到canonical view volume中的[0, 1]。

n <= z <= f

0 <= z-n <= f-n

0 <= (z-n)/(f-n) <= 1

0 <= z/(f-n) – n/(f-n) <= 1

得到z\’的表达式:

z\’ = z/(f-n) – n/(f-n)

总结上面的x\’, y\’和z\’，

x\’ = 2x/(r-l) – (r+l)/(r-l)

y\’ = 2y/(t-b) – (t+b)/(t-b)

z\’ = z/(f-n) – n/(f-n)

如果写成矩阵形式：

在Direct3D中一个函数D3DXMatrixOrthoOffCenterLH()正好提供了这个功能(注意到形式有些不同，是行/类矩阵的区别)。“LH”表示的是左手坐标系，但是“OffCenter”表示的又是什么呢？

第一，在Camera空间，如果Camera被放置在原点，并且方向沿着z轴；第二，如果r = -l，t = -b，并且定义x轴上的宽度w和y轴上的高度h，那么

上面的矩阵和Direct3D中的D3DXMatrixOrthoLH()计算的结果一致。

如果把正投影的矩阵分解成如下：

注意变换形式是：p\'(canonical view volume) = P0 * P(view volume)。

通过这个分解，可以这样来理解正投影矩阵，首先，吧view volume沿z轴把近平面移到原点，其次，缩放使得view volume变换到canonical view volume。

透视投影

透视投影因为可以产生距离的错觉(远方的物体看起来更小),所以可以产生更真实的效果，被广泛使用。它和正投影不同的地方是，透视投影的view volume是一个锥体，如下图4：

图4：透视投影

从图中可以看出view frustum的近平面由(l, b, n)延伸到(r, t, n)。

步骤一：对于view frustum中的一个点(x, y, z)，把它投影到近平面z = n。因为 投影点在近平面上，所以x坐标的范围在[l, r]，y坐标的范围在[b, t]。如 图5

步骤二：使用在正投影中学习的知识，把在近平面上x的[l, r]隐射到[-1, 1]，y的[b,  t]隐射到[-1, 1]。

图5

第一步：得到投影点

所以得到投影点(x*n/z, y*n/z, n)。

第二步：把第一步中得到的投影点，运用正投影中学习的知识隐射。

代入x = x*n/z 和 y = y*n/z，

乘以z，

把(x, y, z)隐射到(x\’z, y\’z, z\’z)，所以需要求z\’z

假设z\’z = pz + q，而z坐标的隐射是[n, f]到[0, 1],所以得到：

0 = pn + q

f = pf + q

解方程得：

p = f/(f-n)

q = -fn/(f – n)

所以，

z\’z = fz/(f-n) – fn/(f-n)

总结在一起，

写成矩阵形式：

上面的矩阵可以使得，p * (x, y, z, 1) = (x\’z, y\’z, z\’z, z)。这个也是和Direct3D中的D3DXMatrixPerspectiveOffCenterLH()是一样的(注意行/列区别)。同正投影中， 如果满足一定的条件，r = -l，t = -b，则有下面的矩阵形式:

这个就和Direct3D中的D3DXMatrixPerspectiveLH()结果一样。

最后，有必要说一下牵扯到宽高比的矩阵表示形式。

如图6：

图6

cot(a/2) = n / (h/2) = 2n/h

假设r = w/h，即宽高比

2n/w = 2n/(rh) = (1/r) * cot(a/2)

则有以下形式：

这个形式就和Direct3D中的D3DXMatrixPerspectiveFovLH()结果一样。

注：

本文原本准备翻译，后来没耐心了，话说最近我做事一直都没什么耐心了，所以没怎么按照原文翻译，而是把重要的列出来。

上面说的一些推导公式有些不用那么繁琐，但是总的来看，很值得一读。