1 -单变量高斯分布

单变量高斯分布概率密度函数定义为：

\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp\{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\} \tag{1.1}
\]

式中\(\mu\)为随机变量\(x\)的期望，\(\sigma^2\)为\(x\)的方差，\(\sigma\)称为标准差：

\[\mu=E(x)=\int_{-\infty}^\infty xp(x)dx \tag{1.2}
\]

\[\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2p(x)dx \tag{1.3}
\]

可以看出，该概率分布函数，由期望和方差就能完全确定。高斯分布的样本主要都集中在均值附近，且分散程度可以通过标准差来表示，其越大，分散程度也越大，且约有95%的样本落在区间\((\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)\)

2 – 多元高斯分布

多元高斯分布的概率密度函数。多元高斯分布的概率密度函数定义：

\[p({\bf x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^\frac{1}{2}}exp\{-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\} \tag{2.1}
\]

其中\({\bf x}=[x_1,x_2,…,x_d]^T\)是\(d\)维的列向量；
\({\bf \mu}=[\mu_1,\mu_2,…,\mu_d]^T\)是\(d\)维均值的列向量；
\(\Sigma\)是\(d\times d\)维的协方差矩阵；
\({\Sigma}^{-1}\)是\(\Sigma\)的逆矩阵;
\(|\Sigma|\)是\(\Sigma\)的行列式；
\((\bf x-\mu)^T\)是\((\bf x-\mu)\)的转置，且

\[\mu=E(\bf x) \tag{2.2}
\]

\[\Sigma=E\{(\bf x-\bf \mu)(\bf x – \mu)^T\}\tag{2.3}
\]

其中\(\mu,\Sigma\)分别是向量\(\bf x\)和矩阵\((\bf x -\mu)(\bf x -\mu)^T\)的期望，诺\(x_i\)是\(\bf x\)的第\(i\)个分量，\(\mu_i\)是\(\mu\)的第\(i\)个分量，\(\sigma_{ij}^2\)是\(\sum\)的第\(i,j\)个元素。则:

\[\mu_i=E(x_i)=\int_{-\infty}^\infty x_ip(x_i)dx_i \tag{2.4}
\]

其中\(p(x_i)\)为边缘分布：

\[p(x_i)=\int_{-\infty}^\infty\cdot\cdot\cdot\int_{-\infty}^\infty p({\bf x})dx_1dx_2 \cdot\cdot\cdot dx_d \tag{2.5}
\]

而

\[\begin{eqnarray}\sigma_{ij}^2
&=&E[(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)]\\
&=&\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)p(x_i,x_j)dx_idx_j
\end{eqnarray} \tag{2.6}\]

不难证明，协方差矩阵总是对称非负定矩阵，且可表示为：

\[\Sigma=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11}^2 & \sigma_{12}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{1d}^2 \\
\sigma_{12}^2 & \sigma_{22}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{2d}^2\\
\cdot\cdot\cdot &\cdot\cdot\cdot\\
\sigma_{1d}^2 & \sigma_{2d}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{dd}^2
\end{bmatrix}\]

对角线上的元素\(\sigma_{ii}^2\)为\(x_i\)的方差，非对角线上的元素\(\sigma_{ij}^2\)为\(x_i\)和\(x_j\)的协方差。
由上面可以看出，均值向量\(\mu\)有\(d\)个参数，协方差矩阵\(\sum\)因为对称，所以有\(d(d+1)/2\)个参数，所以多元高斯分布一共由\(d+d(d+1)/2\)个参数决定。
从多元高斯分布中抽取的样本大部分落在由\(\mu\)和\(\Sigma\)所确定的一个区域里，该区域的中心由向量\(\mu\)决定，区域大小由协方差矩阵\(\Sigma\)决定。且从式子（2.1）可以看出，当指数项为常数时，密度\(p(\bf x)\)值不变，因此等密度点是使指数项为常数的点，即满足:

\[({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})=常数 \tag{2.7}
\]

上式的解是一个超椭圆面，且其主轴方向由\(\sum\)的特征向量所决定，主轴的长度与相应的协方差矩阵\(\Sigma\)的特征值成正比。
在数理统计中，式子（2.7）所表示的数量：

\[\gamma^2=({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x}-\mu)
\]

称为\(\bf x\)到\(\mu\)的Mahalanobis距离的平方。所以等密度点轨迹是\(\bf x\)到\(\mu\)的Mahalanobis距离为常数的超椭球面。这个超椭球体大小是样本对于均值向量的离散度度量。对应的M式距离为\(\gamma\)的超椭球体积为：

\[V=V_d|\Sigma|^{\frac{1}{2}}\gamma^d
\]

其中\(V_d\)是d维单位超球体的体积：

\[V_d=\begin{cases}\frac{\pi^{\frac{d}{2}}}{(\frac{d}{2})!},&d 为偶数\\
\frac{2^d\pi^{(\frac{d-1}{2})}(\frac{d-1}{2})!}{d!},d为奇数
\end{cases}\]

如果多元高斯随机向量\(\bf x\)的协方差矩阵是对角矩阵，则\(\bf x\)的分量是相互独立的高斯分布随机变量。

2.1 – 多变量高斯分布中马氏距离的2维表示

上面式2.7是样本点\(\bf x\)与均值向量\(\bf \mu\)之间的马氏距离。我们首先对\(\Sigma\)进行特征分解，即\(\Sigma=\bf U\Lambda U^T\),这里\(\bf U\)是一个正交矩阵，且\(\bf U^TU=I\)，\(\bf\Lambda\)是特征值的对角矩阵。且：

\[{\bf\Sigma}^{-1}={\bf U^{-T}\Lambda^{-1}U^{-1}}={\bf U\Lambda^{-1}U^T}=\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T
\]

这里\({\bf u}_i\)是\(\bf U\)的第\(i\)列，包含了第\(i\)个特征向量。因此可以重写成：

\[\begin{eqnarray}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})
&=&({\bf x-\mu})^T\left(\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T\right)({\bf x-\mu})\\
&=&\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}({\bf x-\mu})^T{\bf u}_i{\bf u}_i^T({\bf x-\mu})\\
&=&\sum_{i=1}^d\frac{y_i^2}{\lambda_i}
\end{eqnarray}\]

这里\(y_i={\bf u}_i^T(\bf x-\mu)\),可以看出，当只选择两个维度时，即可得到椭圆公式 :

\[\frac{y_1^2}{\lambda_1}+\frac{y_2^2}{\lambda_2}=1
\]

其中该椭圆的长轴与短轴的方向由特征向量而定，轴的长短由特征值大小而定。
ps：所以得出结论，马氏距离就是欧式距离先通过\(\bf \mu\)中心化，然后基于\(\bf U\)旋转得到的。

2.2多变量高斯分布的最大似然估计

假设有\(N\)个iid的高斯分布的样本即${\bf x}_i \(~\) \cal N(\bf \mu,\Sigma)$，则该分布的期望和方差（这里是协方差）：

\[\hat\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i=\overline{\bf x}\tag{2.2.1}
\]

\[\begin{eqnarray}\hat{\Sigma}
&=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\overline x})({\bf x}_i-{\bf\overline x})^T\\
&=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T-{\bf x}_i{\bf \overline x}^T-{\bf \overline x}{\bf x}_i^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\right)\\
&=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-2{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\\
&=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T
\end{eqnarray}\tag{2.2.2}\]

为了求得他们的最大似然估计，需要预先知道如下知识：


图2.2.1 书mlapp上公式4.10

\[{\bf x^TAx}=tr({\bf x^TAx})=tr({\bf xx^TA})=tr({\bf Axx^T})\tag{2.2.3}
\]

因为多元高斯分布可写成:

\[p(d|\mu,\Sigma)= \frac{1}{{2\pi}^{d/2}}*|\Sigma^{-1}|^{1/2}*\exp\left[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\right]\tag{2.2.4}
\]

\[\begin{eqnarray}
\scr L({\bf \mu},\Sigma)
&=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\
&=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu})
\end{eqnarray}\tag{2.2.5}\]

这里\(\bf \Lambda=\Sigma^{-1}\)是协方差矩阵的逆矩阵，也就是精度矩阵。
并假设\({\bf y}_i={\bf x}_i-\mu\)，采用链式求导法则,且按照图2.2.1第二个公式，得：

\[\begin{eqnarray}
\frac{d}{d\mu}\left(\frac{1}{2}({{\bf x}_i-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({{\bf x}_i-\mu})\right)
&=&\frac{d}{d{\bf y}_i}\left({\bf y}_i^T\Sigma^{-1}{\bf y}_i\right)\frac{d{\bf y}_i}{d\mu}\\
&=&(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i(-1)\\
&=&-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i
\end{eqnarray}\]

且\(\Sigma\)是对称矩阵，所以：

\[\begin{eqnarray}
\frac{d}{d\mu}{\scr L}(\mu,\Sigma)
&=&0+\frac{d}{d\mu}\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu})\right)\\
&=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left(-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i\right)\\
&=&\sum_{i=1}^N\Sigma^{-1}{\bf y}_i\\
&=&\Sigma^{-1}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-\mu)=0
\end{eqnarray}\]

从而，多元高斯分布的期望为：\(\hat \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i\)

因为
\(\bf A_1B+A_2B=(A_1+A_2)B\)
\(tr({\bf A})+tr({\bf B})=tr(\bf A+B)\)
所以
\(tr({\bf A_1 B})+tr({\bf A_2 B})=tr[(\bf A_1+A_2)B]\)
通过公式2.2.3，且假定\({\bf S}_\mu=\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T\)可知公式2.2.5可表示成：

\[\begin{eqnarray}
\scr L({\bf \mu},\Sigma)
&=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\
&=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Ntr[({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}]\\
&=&\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}tr({\bf S_\mu}{\bf \Lambda})
\end{eqnarray}\tag{2.2.5}\]

所以：

\[\frac{d\scr L(\mu,\Sigma)}{d{\bf \Lambda}}=\frac{N}{2}{\bf \Lambda^{-T}}-\frac{1}{2}{\bf S}_\mu^T=0
\]

\[{\bf \Lambda^{-T}}={\bf \Lambda^{-1}}=\Sigma=\frac{1}{N}{\bf S}_\mu
\]

最后得到了多元高斯分布协方差的期望值为:
\(\hat{\Sigma}
=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\mu})({\bf x}_i-{\bf\mu})^T\)

2.3 基于多元变量高斯分布的分类方法

1 – 各个类别的协方差都相等\(\Sigma_{c_k}=\Sigma\):
并且可以直观的知道：

\[p(X={\bf x}|Y=c_k,{\bf \theta}) = {\cal N}({\bf x|\mu}_{c_k},\Sigma_{c_k}）\tag{3.1}
\]

ps：基于第\(k\)类基础上关于变量\(\bf x\)的概率，就是先挑选出所有\(k\)类的样本，然后再计算其多元高斯概率。且如果\(\Sigma_{c_k}\)是对角矩阵(即不同特征之间相互独立)，则其就等于朴素贝叶斯。

且可知对于多分类问题，给定一个测试样本其特征向量，预测结果为选取概率最大的那个类别：

\[\begin{eqnarray}\hat y({\bf x})
&=&arg\max_{c_k}P(Y={c_k}|X={\bf x})\\
&=&arg\max_{c_k}\frac{P(Y={c_k},X={\bf x})}{P(X={\bf x})}
\end{eqnarray}\tag{3.2}\]

因为对于每个类别计算当前测试样本概率时，分母都是相同的，故省略，比较分子大的就行，也就是联合概率大的那个，从而式子3.2等价于：

\[\hat y({\bf x})=arg\max_{c_k}P(X={\bf x}|Y={c_k})P(Y={c_k})
\]

而所谓LDA，就是当每个类别的协方差都相等，即\(\Sigma_{c_k}=\Sigma\),所以:
\(P(X={\bf x}|Y={c_k})=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\)
\(P(Y={c_k})=\pi_{c_k}\)
从而，可发现：

\[\begin{eqnarray}P(Y={c_k}|X={\bf x}) \quad
&正比于& \pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\\
&=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\
&=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\
&=&exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]\\
&=&\frac{exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]}{exp[\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]}
\end{eqnarray}\]

从而上式的分母又可以省略
假定\(\gamma_{c_k}=-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}\)，而\(\beta_{c_k}=\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}\)
从而:

\[P(Y={c_k}|X={\bf x})=\frac{exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}{\sum_{k=1}^{|c|}exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}=S(\eta)_{c_k}
\]

这里\(\eta=[{\beta_{c_1}^T{\bf x}+\gamma_{c_1}},{\beta_{c_2}^T{\bf x}+\gamma_{c_2}},…,{\beta_{c_|c|}^T{\bf x}+\gamma_{c_|c|}}]\),可以发现它就是一个softmax函数，即：

\[S(\eta)_{c_k}=\frac{exp(\eta_{c_k})}{\sum_{k=1}^{|c|}exp(\eta_{c_k})}
\]

softmax之所以这样命名就是因为它有点像max函数。
对于LDA模型，假设将样本空间划分成n个互相独立的空间，则线性分类面，就是该分类面两边的类别预测概率相等的时候，即：
\(P(Y={c_k}|X={\bf x})=P(Y={c_k\’}|X={\bf x})\)
\(\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k}=\beta_{c_k\’}^T{\bf x}+\gamma_{c_k\’}\)
\({\bf x}^T(\beta_{c_k\’}-\beta_{c_k})=\eta_{c_k\’}-\eta_{c_k}\)

参考资料：
[] 边肇祺。模式识别 第二版
[] Machine learning A Probabilistic Perspective
[] William.Feller, 概率论及其应用(第1卷)

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