行列式及其打开方式
行列式及其打开方式
一、行列式是什么？
定义：
百度百科定义：
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
说白了，就是一个矩阵，行和列数量相同，拥有一个取值，n行n列的行列式可以看作是由\(n^2\)个数字组成的函数。
二、行列式的用法
1.首先还是了解一下行列式的\({Latex}\)：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\ %Latex vmatrix
2 & 2 & 2\\
0 & -1 & 7
\end{vmaxtrix}
$$
效果：\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 2\\
0 & -1 & 7 \end{vmatrix}\)
效果还不错不是吗？
2.行列式的求值（基础）
行列式的值可以表示为如下概念：（鸽着）
啥呀……按行展开了TAT……
左上到右下的对角线我们称之为主对角线，右上到左下的对角线称之为副对角线。
所有和主对角线平行的元素的乘积相加减去所有和副对角线平行的元素展开的和。
那我们怎么快速求行列式某一项的符号？
3.求行列式某一项的符号（基础）
逆序对又来了……
就是说，如果按照列的标签（第二个）来算逆序对个数为单数，则是负号，否则为正。
这个时候我们一般是脑模插入排序或者冒泡排序，很少脑模归并排序（也不是不可以QAQ）
4.行列式的性质：
-
转置后行列式与原行列式相等。
转置即原先的列变成行。（所以这就是为什么要用行和列相等的”矩阵”）
即\(D^T=D\)。
为什么？
YY：因为我们转置了以后相减，可以得到0。其实不是，是说求和之后值是不变的，但是我不会证明（用就好了QAQ）。
-
互换两行（列），行列式变号。
这个可能不好理解……
原理：将原先的值相加的变成相减、相减的变成相加（因为两行一定会导致符号不同步），然后所有的和相加相当于原先的相反数。
-
将矩阵的某一行所有元素全都变成k倍，相当于整体乘以k。
\[D_k=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots\\
k\cdot a_{m1} & k\cdot a_{m2} &\cdots &k\cdot a_{mn}\\
\vdots & \vdots &\vdots &\vdots\\
a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}
\end{vmatrix}
=k\cdot D
(1\leq m,k\leq n)
\]这个也很好理解。我们相当于多了k-1倍的原矩阵呗！
-
两行或两列成比例，矩阵值为0。
不多说了。
-
若将原矩阵某一行（列）拆成两个元素，则可以整体拆成两个矩阵。
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} &\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
a_{m1} & a_{m2} &\cdots &a_{mn}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
b_{m1} & b_{m2} &\cdots &b_{mn}\\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\
a_{n1} & a_{n2} &\cdots &a_{nn}
\end{vmatrix}
\]证明：即在求和公式中某一项拆成两个元素，乘法分配律后证毕。（滑稽）
-
将行列式某一行（列）所有元素加上k倍的某一行（列）所有元素，值不变。
证明：先根据推论5可以得出两个矩阵，再根据推论4，对应的矩阵拆出来的多余的矩阵修改的那一行是k倍的另一行，所以相当于+0。证毕。
5.特殊性质：
- 在主对角线下方都是0的称之为上三角行列式，上方都是0的称之为下三角行列式，这两种值都是对角线所有元素的乘积。
- ……不会了……
6.用途：
行列式可以表示某一高元一次方程组，可以得到一个接近\(O(n^2)\)的优秀解方程方式。