线性代数——行列式2
按行展开
余子式：将行列式去掉某个元素所在的行和列，剩余的按照原来的位置组成的新的行列式称为这个元素的余子式，例
中第三行第二列的2的余子式为：
代数余子式:
定理(按某行(列)展开)
a表示元素第i行第n列的元素，A表示该元素所对应的代数余子式
a表示元素第n行第j列的元素，A表示该元素所对应的代数余子式
定理(异乘变零)
某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0
拉普拉斯定理
k阶子式： 从行列式中选取两行两列，其交叉部分组成的行列式为二阶行列式，非选中部分组成的行列式为余子式，设选中部分的和为n，-1的n次方乘以余子式就是代数余子式。同样的，选取k行k列，交叉部分则为k阶行列式，非选中的行列为余子式，-1的n次方乘以余子式为代数余子式。
例:
选取二阶子式：
则余子式为
代数余子式为
拉普拉斯定理
选定k行，由k行组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和等于D
例
行列式相乘
同阶相乘
第一行乘以第一列的和作为第一行第一列的元素，第一行乘以第二列的和作为第一行第二列的元素，以此类推。
例
行列式计算
一般情况下化成上三角行列式
例1
例2
加边的要求：不能改变原行列式的值
字母放了分母上必须确定字母不为0
例3
例4
反对称行列式
- 除对角线全为0
- 上下位置对应相反数
如:
反对称行列式，奇数阶，D=0
对称行列式
- 主对角线元素无要求
- 上下对称相等
克莱姆(cramer)法则
克莱姆法则：又称克拉默法则，含有n个未知数x1,x2,···,xn的n个线性方程组的系数行列式不等于0，那么方程组有唯一解。
- 方程的个数等于未知数的个数
- D不等于0
- 由于计算量大，所以一般不用。
- 适用于计算机解题
定理1
定理2
齐次线性方程组: 常数项全部为0的线性方程组称为齐次线性方程组
齐次方程组，方程个数等于未知数的个数且D不等于0，则该方程组只有零解
齐次方程组，方程个数等于未知数的个数有非零解的充要条件为D=0
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