Gamma 函数及其应用
1. Γ(⋅) 函数定义
Γ(α)=∫∞0tα−1e−tdt
可知以下基本性质：
-
Γ(α+1)=αΓ(α)（分部积分法）
- Γ(1)=1 ⇒ Γ(n+1)=n!
- Γ(12)=π√
2. 常见变形
对于 a>0,p>0：
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫∞0xp−1e−axdx=a−pΓ(p)∫∞0x−p−1e−ax−1dx=a−pΓ(p)∫∞0xp−1e−ax2dx=12a−p2Γ(p2)
对其进行简单证明，∫∞0xp−1e−axdx=a−1a−(p−1)∫∞0(ax)p−1e−axdax
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