渐近线与曲率的公式，必须注意水平和斜渐近线的共存问题

七、渐近线与曲率

1、渐近线

如果存在直线L:y=kx+b，使得当x→∞(或x→+∞，x→-∞)时，曲线y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)→0，则称L为曲线y=f(x)的渐近线。

  • 斜渐近线

    \[\lim\limits_{x→±∞}\frac{f(x)}{x}=k≠0，b=\lim\limits_{x→±∞}[f(x)-kx]
    \]

    则y=kx+b是y=f(x)的斜渐近线。

  • 水平渐近线

    \[\lim\limits_{x→±∞}f(x)=b
    \]

    则y=b是y=f(x)的水平渐近线。

  • 垂直渐近线(找间断点)

    \[\lim\limits_{x→x_0}f(x)=∞
    \]

    则x=x0是y=f(x)的垂直渐近线。

这里需要注意：有水平可能有斜，如：x→-∞有水平则无斜，x→+∞无水平则考虑斜

2、曲率

  • 弧微分公式

    \[\mathrm{d}s=\sqrt{1+f\’^2(x)}\mathrm{d}x
    \]

  • 曲率

  • 曲率半径

    \[R=\frac{1}{K}，(k≠0)
    \]

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