CG笔记之二——曲线和曲面

quanben 2021-08-20 原文

　　CG造型中用到较多曲线论和曲面论的知识，这在一般分析学课程中不作为重点，而属于微分几何讲授的内容。一些不十分艰深的数学参考书，如南开大学数学丛书系列之一《微分几何》（孟道骥，梁科著，科学出版社出版），都能对相关理论内容做较详细的阐述。
　　在曲线连续部分，有关G2和C2关系问题，容易引起一些误解。其实G2已经保证了k(s)*N(s)的相等，但C2的要求是P“(t)的相等，而这要比前者要求更严格。
　　有关G2本质上等价于k(s)*N(s)相等的论证如下：
　　G2要求有公共“曲率矢”：
　　P\'(1)×P“(1)/|P\'(1)|³ = Q\'(0)×Q“(0)/|Q\'(0)|³（式1）
　　由于P\'(t)=s_P\'(t)*T_P(t)，P“(t) = k_P(t)*s_P\’²(t)*N_P(t)+s_P\’\'(t)*T_P(t)，代入式1，有：
　　sign(s_P\'(1))*k_P(1)*B_P(1)=sign(s_Q\'(0))*k_Q(0)*B_Q(0)　　　　（式2）
　　另外根据G1有a*P\'(1)=Q\'(0)，且a>0，于是，a*s_P\'(1)*T_P(1)=s_Q\'(0)*T_Q(0)，有sign(s_P\'(1))*T_P(1)=sign(s_Q\'(0))*T_Q(0)，两侧和式2做外积得到：k_P(1)*N_P(1)=k_Q(0)*N_Q(0)，容易完成相反方向的论证，由此等价关系成立。k(s)*N(s)相等的条件要比C2要弱，因为即使曲线曲率和法矢量一致，但P“却在密切平面上具有一定的自由度，只要保证最终产生规定的N向量和曲率即可。