三维坐标系的旋转矩阵
转载自；http://m.blog.csdn.net/blog/qiuqchen/21980731
为了方便自己记忆，记录一下三维坐标旋转矩阵的推导过程。
坐标的旋转变换在很多地方都会用到，比如机器视觉中的摄像机标定、图像处理中的图像旋转、游戏编程等。
任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。
若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。
假设三维坐标系中的某一向量
，其在直角坐标系中的图如图1所示。其中点P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分别为点M、点P、点N。
图1 直角坐标系XYZ
一、
绕Z轴旋转θ角
绕Z轴旋转，相当于在XY平面的投影OM绕原点旋转，如下图所示，OM旋转θ角到OM\’。
图2 向量绕Z轴旋转示意图
设旋转前的坐标为
，旋转后的坐标为
，则点M的坐标为
，点M\’的坐标为
。由此可得：
对于
和
进行三角展开可得：
且有
;可得绕Z轴旋转
角的旋转矩阵为：
二、绕X轴旋旋转θ角
绕X轴旋转，相当于在YZ平面的投影ON绕原点旋转，如下图所示，ON旋转θ角到ON\’。
图3 向量绕X轴旋转示意图
设旋转前的坐标为，旋转后的坐标为，则点N的坐标为
，点N\’的坐标为
。由此可得：
对于
和进行三角展开可得：
且有
;可得绕X轴旋转角的旋转矩阵为：
三、绕Y轴旋旋转θ角
绕Y轴旋转，相当于在XZ平面的投影OQ绕原点旋转，如下图所示，OQ旋转θ角到OQ\’。
图4 向量绕Y轴旋转示意图
设旋转前的坐标为，旋转后的坐标为，则点Q的坐标为
，点Q\’的坐标为
。由此可得：
对于和进行三角展开可得：
且有
;可得绕Y轴旋转角的旋转矩阵为：
四、绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵分别为：
五、总结
啰啰嗦嗦终于打完所有的公式了，其实三个轴会推导其中一个轴的旋转矩阵的话，另外两个轴也类似地可以很容易推导出来。这里给出所有的推导过程只是为了我自己记忆的方便。当然也可以不旋转向量，而使用旋转坐标系的方法推导，两种方法是等价的。
公式的输入我使用了这篇博客http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937给出的方法。还有一个小技巧，就是可以双击公式，在最上面的工具栏“图片”选项里直接修改公式的内容。
参考：
1、《学习OpenCV》
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