1.3.2 基于《最大长度表》匹配（此部分为帮助大家理解next数组的由来而写，若大家能够理解next数组关注的为该字符前的字符串可跳过该部分）

失配时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数 – 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

• 2. 继续往后匹配，当模式串最后一个字符D跟文本串匹配时失配，显而易见，模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢？因为此时已经匹配的字符数为6个（ABCDAB），然后根据《最大长度表》可得失配字符D的上一位字符B对应的长度值为2，所以根据之前的结论，可知需要向右移动6 – 2 = 4 位。

• 3. 模式串向右移动4位后，发现C处再度失配，因为此时已经匹配了2个字符（AB），且上一位字符B对应的最大长度值为0，所以向右移动：2 – 0 =2 位。

• 4. A与空格失配，向右移动1 位。

• 5. 继续比较，发现D与C 失配，故向右移动的位数为：已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2，即向右移动6 – 2 = 4 位。

• 6. 经历第5步后，发现匹配成功，过程结束。

    读到此，有的读者可能又有疑问了，那能否举一个能在前缀中找到字符D的例子呢？OK，咱们便来看一个能在前缀中找到字符D的例子，如下图所示：

 用代码重新计算下“ABCDABD”的next 数组，以验证之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位，然后初值赋为-1”得到的next 数组是否正确，计算结果如下表格所示：

    从上述表格可以看出，无论是之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位，然后初值赋为-1”得到的next 数组，还是之后通过代码递推计算求得的next 数组，结果是完全一致的。

1.3.5 基于《next 数组》匹配

    下面，我们来基于next 数组进行匹配。

    还是给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配，如下图所示：

    在正式匹配之前，让我们来再次回顾下上文2.1节所述的KMP算法的匹配流程：

• “假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置
• 如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
• 如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j – next [j] 位。
• 换言之，当匹配失败时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置 – 失配字符对应的next 值，即移动的实际位数为：j – next[j]，且此值大于等于1。”

• 1. 最开始匹配时
• P[0]跟S[0]匹配失败
• 所以执行“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，所以j = -1，故转而执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”，得到i = 1，j = 0，即P[0]继续跟S[1]匹配。
• P[0]跟S[1]又失配，j再次等于-1，i、j继续自增，从而P[0]跟S[2]匹配。
• P[0]跟S[2]失配后，P[0]又跟S[3]匹配。
• P[0]跟S[3]再失配，直到P[0]跟S[4]匹配成功，开始执行此条指令的后半段：“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”。

• 2. P[1]跟S[5]匹配成功，P[2]跟S[6]也匹配成功, …，直到当匹配到P[6]处的字符D时失配（即S[10] != P[6]），由于P[6]处的D对应的next 值为2，所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j – next[j] = 6 – 2 =4 位。

• 3. 向右移动4位后，P[2]处的C再次失配，由于C对应的next值为0，所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j – next[j] = 2 – 0 = 2 位。

• 4. 移动两位之后，A 跟空格不匹配，模式串后移1 位。

• 5. P[6]处的D再次失配，因为P[6]对应的next值为2，故下一步用P[2]继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动 j – next[j] = 6 – 2 = 4 位。

• 6. 匹配成功，过程结束。

    匹配过程一模一样。也从侧面佐证了，next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位，且把初值赋为-1 即可。

1.3.6 Next 数组与有限状态自动机

    next 负责把模式串向前移动，且当第j位不匹配的时候，用第next[j]位和主串匹配，就像打了张“表”。此外，next 也可以看作有限状态自动机的状态，在已经读了多少字符的情况下，失配后，前面读的若干个字符是有用的。

1.3.7 Next 数组的优化

    至此我们已经实现了KMP算法，但是关于next数组的求解，仍然存在着进一步优化的空间。

    比如，如果用之前的next 数组方法求模式串“abab”的next 数组，可得其next 数组为-1 0 0 1（0 0 1 2整体右移一位，初值赋为-1），当它跟下图中的文本串去匹配的时候，发现b跟c失配，于是模式串右移j – next[j] = 3 – 1 =2位。

    右移2位后，b又跟c失配。事实上，因为在上一步的匹配中，已经得知p[3] = b，与s[3] = c失配，而右移两位之后，让p[ next[3] ] = p[1] = b 再跟s[3]匹配时，必然失配。问题出在哪呢？

    问题出在不该出现p[j] = p[ next[j] ]。为什么呢？理由是：当p[j] != s[i] 时，下次匹配必然是p[ next [j]] 跟s[i]匹配，如果p[j] = p[ next[j] ]，必然导致后一步匹配失败（因为p[j]已经跟s[i]失配，然后你还用跟p[j]等同的值p[next[j]]去跟s[i]匹配，很显然，必然失配），所以不能允许p[j] = p[ next[j] ]。如果出现了p[j] = p[ next[j] ]咋办呢？如果出现了，则需要再次递归，即令next[j] = next[ next[j] ]。总结即是：

如果a位字符与它的next值(即next[a])指向的b位字符相等（即p[a] == p[next[a]]）,则a位的next值就指向b位的next值即（next[ next[a] ]）。

    所以，咱们得修改下求next 数组的代码。

    public static int[] next(String p) {
        int[] next = new int[p.length()];
        int k = -1, j = 0;
        next[0] = -1;        //    初值为-1    
        
        while(j < p.length() - 1) { 
            //    p[k]表示字符串的前缀，p[j]表示字符串的后缀
            if(k == -1 || p.charAt(k) == p.charAt(j)) {  // 判断的先后顺序不能调换
                k++;
                j++;
                //    后面即是求next[j+1]的过程
                if(p.charAt(k) == p.charAt(j))             //  此处等价于if(p[j] == p[ next[j] ])
                    //    因为不能出现p[j] = p[ next[j] ]，所以当出现时需要继续递归，k = next[k] = next[next[k]]
                    next[j] = next[k];                    //  此处等价于next[j] = next[ next[j] ]
                else    
                    next[j] = k;
            }
            else {
                k = next[k];         
            }
        }
    
        return next;
    }

　　 利用优化过后的next 数组求法，可知模式串“abab”的新next数组为：-1 0 -1 0。可能有些读者会问：原始next 数组是前缀后缀最长公共元素长度值右移一位， 然后初值赋为-1而得，那么优化后的next 数组如何快速心算出呢？实际上，只要求出了原始next 数组，便可以根据原始next 数组快速求出优化后的next 数组。还是以abab为例，如下表格所示：

只要出现了p[next[j]] = p[j]的情况，则把next[j]的值再次递归。例如在求模式串“abab”的第2个a的next值时，如果是未优化的next值的话，第2个a对应的next值为0，相当于第2个a失配时，下一步匹配模式串会用p[0]处的a再次跟文本串匹配，必然失配。所以求第2个a的next值时，需要再次递归：next[2] = next[ next[2] ] = next[0] = -1（此后，根据优化后的新next值可知，第2个a失配时，执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符”），同理，第2个b对应的next值为0。

对于优化后的next数组可以发现一点：如果模式串的后缀跟前缀相同，那么它们的next值也是相同的，例如模式串abcabc，它的前缀后缀都是abc，其优化后的next数组为：-1 0 0 -1 0 0，前缀后缀abc的next值都为-1 0 0。

 接下来，咱们继续拿之前的例子说明，整个匹配过程如下：

    1. S[3]与P[3]匹配失败。

    2. S[3]保持不变，P的下一个匹配位置是P[next[3]]，而next[3]=0，所以P[next[3]]=P[0]与S[3]匹配。

    3.  由于上一步骤中P[0]与S[3]还是不匹配。此时i=3，j=next [0]=-1，由于满足条件j==-1，所以执行“++i, ++j”，即主串指针下移一个位置，P[0]与S[4]开始匹配。最后j==pLen，跳出循环，输出结果i – j = 4（即模式串第一次在文本串中出现的位置），匹配成功，算法结束。

至此对于KMP算法的讲解分析已经全部结束，下面将贴出完整代码供大家阅读：

public class KMP {

    public static void main(String[] args) {
        String s = "abacababc";
        String p = "abab";
        System.out.println(Index_KMP(s, p));
    }
    
    //优化过后的next数组求法 
    public static int[] next(String p) {
        int[] next = new int[p.length()];
        int k = -1, j = 0;
        next[0] = -1;        //    初值为-1    
        
        while(j < p.length() - 1) { 
            //    p[k]表示字符串的前缀，p[j]表示字符串的后缀
            if(k == -1 || p.charAt(k) == p.charAt(j)) {  // 判断的先后顺序不能调换
                k++;
                j++;
                //    后面即是求next[j+1]的过程
                if(p.charAt(k) == p.charAt(j))             //  此处等价于if(p[j] == p[ next[j] ])
                    //    因为不能出现p[j] = p[ next[j] ]，所以当出现时需要继续递归，k = next[k] = next[next[k]]
                    next[j] = next[k];                    //  此处等价于next[j] = next[ next[j] ]
                else    
                    next[j] = k;
            }
            else {
                k = next[k];         
            }
        }
    
        return next;
    }
    
    public static int Index_KMP(String S, String P) {
        int i = 0, j = 0;
        int[] next = next(P);
        
        while(i < S.length() && j < P.length()) {      
            if(j == -1 || S.charAt(i) == P.charAt(j)) {        //    如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++. 注意：这里判断顺序不能调换！ 
                i++;
                j++;
            }
            else
                //    如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]      
                //    next[j]即为j所对应的next值，效果为进行回溯        
                j = next[j];
        }
        
        if(j == P.length())
            return i - j;
        else 
            return -1;
    }
    
}

1.4 KMP的时间复杂度分析

KMP的算法流程：

    我们发现如果某个字符匹配成功，模式串首字符的位置保持不动，仅仅是i++、j++；如果匹配失配，i 不变（即 i 不回溯），模式串会跳过匹配过的next [j]个字符。整个算法最坏的情况是，当模式串首字符位于i – j的位置时才匹配成功，算法结束。
    所以，如果文本串的长度为n，模式串的长度为m，那么匹配过程的时间复杂度为O(n)，算上计算next的O(m)时间，KMP的整体时间复杂度为O(m + n)。

2. 扩展1：BM算法

    KMP的匹配是从模式串的开头开始匹配的，而1977年，德克萨斯大学的Robert S. Boyer教授和J Strother Moore教授发明了一种新的字符串匹配算法：Boyer-Moore算法，简称BM算法。该算法从模式串的尾部开始匹配，且拥有在最坏情况下O(N)的时间复杂度。在实践中，比KMP算法的实际效能高。

    BM算法定义了两个规则：

• 坏字符规则：当文本串中的某个字符跟模式串的某个字符不匹配时，我们称文本串中的这个失配字符为坏字符，此时模式串需要向右移动，移动的位数 = 坏字符在模式串中的位置 – 坏字符在模式串中最右出现的位置。此外，如果”坏字符”不包含在模式串之中，则最右出现位置为-1。
• 好后缀规则：当字符失配时，后移位数 = 好后缀在模式串中的位置 – 好后缀在模式串上一次出现的位置，且如果好后缀在模式串中没有再次出现，则为-1。

    下面举例说明BM算法。例如，给定文本串“HERE IS A SIMPLE EXAMPLE”，和模式串“EXAMPLE”，现要查找模式串是否在文本串中，如果存在，返回模式串在文本串中的位置。

    1. 首先，”文本串”与”模式串”头部对齐，从尾部开始比较。”S”与”E”不匹配。这时，”S”就被称为”坏字符”（bad character），即不匹配的字符，它对应着模式串的第6位。且”S”不包含在模式串”EXAMPLE”之中（相当于最右出现位置是-1），这意味着可以把模式串后移6-(-1)=7位，从而直接移到”S”的后一位。

    2. 依然从尾部开始比较，发现”P”与”E”不匹配，所以”P”是”坏字符”。但是，”P”包含在模式串”EXAMPLE”之中。因为“P”这个“坏字符”对应着模式串的第6位（从0开始编号），且在模式串中的最右出现位置为4，所以，将模式串后移6-4=2位，两个”P”对齐。

    3. 依次比较，得到 “MPLE”匹配，称为”好后缀”（good suffix），即所有尾部匹配的字符串。注意，”MPLE”、”PLE”、”LE”、”E”都是好后缀。

    4. 发现“I”与“A”不匹配：“I”是坏字符。如果是根据坏字符规则，此时模式串应该后移2-(-1)=3位。问题是，有没有更优的移法？

    5. 更优的移法是利用好后缀规则：当字符失配时，后移位数 = 好后缀在模式串中的位置 – 好后缀在模式串中上一次出现的位置，且如果好后缀在模式串中没有再次出现，则为-1。
    所有的“好后缀”（MPLE、PLE、LE、E）之中，只有“E”在“EXAMPLE”的头部出现，所以后移6-0=6位。
    可以看出，“坏字符规则”只能移3位，“好后缀规则”可以移6位。每次后移这两个规则之中的较大值。这两个规则的移动位数，只与模式串有关，与原文本串无关。

    6. 继续从尾部开始比较，“P”与“E”不匹配，因此“P”是“坏字符”，根据“坏字符规则”，后移 6 – 4 = 2位。因为是最后一位就失配，尚未获得好后缀。

    由上可知，BM算法不仅效率高，而且构思巧妙，容易理解。

3. 扩展2：Sunday算法

    上文中，我们已经介绍了KMP算法和BM算法，这两个算法在最坏情况下均具有线性的查找时间。但实际上，KMP算法并不比最简单的c库函数strstr()快多少，而BM算法虽然通常比KMP算法快，但BM算法也还不是现有字符串查找算法中最快的算法，本文最后再介绍一种比BM算法更快的查找算法即Sunday算法。

    Sunday算法由Daniel M.Sunday在1990年提出，它的思想跟BM算法很相似：

• 只不过Sunday算法是从前往后匹配，在匹配失败时关注的是文本串中参加匹配的最末位字符的下一位字符。
• 如果该字符没有在模式串中出现则直接跳过，即移动位数 = 匹配串长度 + 1；
• 否则，其移动位数 = 模式串中最右端的该字符到末尾的距离+1。

    下面举个例子说明下Sunday算法。假定现在要在文本串”substring searching algorithm”中查找模式串”search”。

    1. 刚开始时，把模式串与文本串左边对齐：
substring searching algorithm
search
^
    2. 结果发现在第2个字符处发现不匹配，不匹配时关注文本串中参加匹配的最末位字符的下一位字符，即标粗的字符 i，因为模式串search中并不存在i，所以模式串直接跳过一大片，向右移动位数 = 匹配串长度 + 1 = 6 + 1 = 7，从 i 之后的那个字符（即字符n）开始下一步的匹配，如下图：

substring searching algorithm
　　　 search
　　　　^
    3. 结果第一个字符就不匹配，再看文本串中参加匹配的最末位字符的下一位字符，是\’r\’，它出现在模式串中的倒数第3位，于是把模式串向右移动3位（r 到模式串末尾的距离 + 1 = 2 + 1 =3），使两个\’r\’对齐，如下：
substring searching algorithm
　　　　  search
　　　　　　　^

    4. 匹配成功。

    回顾整个过程，我们只移动了两次模式串就找到了匹配位置，缘于Sunday算法每一步的移动量都比较大，效率很高。