判断一点是否在三角形的外接圆内
在平面上，如果已知\(\triangle P_0 P_1 P_2\)的三个顶点坐标\(P_0(x_0, y_0),\space P_1(x_1,y_1),\space P_2(x_2,y_2)\)和另一点\(P\)的坐标\((x,y)\)，要判断点P是否在\(\triangle P_0 P_1 P_2\)内。
这里给出两种判断方法，第一种方法是先求出\(\triangle P_0 P_1 P_2\)的外接圆圆心坐标，然后得到三角形的半径，比较半径和圆心到点\(P\)的距离，就能判断点\(P\)和外接圆的位置关系。第二种方法是选择\(\triangle P_0 P_1 P_2\)的一条边作为界线，如边\(P_0P_2\)，然后根据点\(P_1\)和点\(P\)是否在\(P_0P_2\)同侧，比较\(\angle P_0 P_1 P_2\)和\(\angle P_0 P P_2\)的大小，判断点\(P\)和外接圆的位置关系。
第一种方法
三角形的外心坐标公式为：
\[x = \frac { \begin{vmatrix}
x_0^2 +y_0^2 & y_0 & 1\cr
x_1^2 +y_1^2 & y_1 & 1\cr
x_2^2 +y_2^2 & y_2 & 1
\end{vmatrix} }
{2 \begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & 1\cr
x_1& y_1 & 1\cr
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix} } ,
y = \frac { \begin{vmatrix}
x_0& x_0^2 +y_0^2& 1\cr
x_1& x_1^2 +y_1^2& 1\cr
x_2& x_2^2 +y_2^2& 1\cr
\end{vmatrix} }
{2 \begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & 1\cr
x_1& y_1 & 1\cr
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix} }\]
x_0^2 +y_0^2 & y_0 & 1\cr
x_1^2 +y_1^2 & y_1 & 1\cr
x_2^2 +y_2^2 & y_2 & 1
\end{vmatrix} }
{2 \begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & 1\cr
x_1& y_1 & 1\cr
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix} } ,
y = \frac { \begin{vmatrix}
x_0& x_0^2 +y_0^2& 1\cr
x_1& x_1^2 +y_1^2& 1\cr
x_2& x_2^2 +y_2^2& 1\cr
\end{vmatrix} }
{2 \begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & 1\cr
x_1& y_1 & 1\cr
x_2 & y_2 & 1
\end{vmatrix} }\]
根据这个外心的坐标公式计算出外接圆的圆心坐标，就能得到圆的半径，从而判断出点\(P\)与外接圆的位置关系。
定义平面点的数据结构：
struct PointTri
{
double x; // x 坐标
double y; // y 坐标
};
求解行列式用到能够计算\(N\)阶行列式的子函数：
// 求 aij 的代数余子式
vector< vector<double> > Cofactor(vector< vector<double> > vecDet_ij, int i, int j)
{
int k;
vector< vector<double> > vecReturn;
vector< vector<double> >::iterator veck;
// vector<double>::iterator vecl;
// 初始化二维容器 vecReturn
k = 0;
for (veck=vecDet_ij.begin(); veck<vecDet_ij.end(); veck++)
{
if ((veck - vecDet_ij.begin()) != i)
{
vecReturn.push_back(*veck); // 加入除第 i 行外的所有行
vecReturn[k].erase(vecReturn[k].begin() + j);
k++;
}
}
return vecReturn;
}
// 计算行列式的值, 采用递归
double det_Array(vector< vector<double> > vecDet)
{
int i;
double Sum = 0.0;
vector< vector<double> >::iterator vec_Row = vecDet.begin();
vector<double>::iterator vec_Column = (*vec_Row).begin();
if (vecDet.size() == 1)
{
return *vec_Column;
}
else
{
i = 0;
for (; vec_Column < (*vec_Row).end(); vec_Column++)
{
Sum = Sum + pow(-1.0, i) * (*vec_Column) * det_Array( Cofactor(vecDet, 0, i++) );
}
return Sum;
}
}
主要的判断函数为：
// 判断点 Ｐ 是否在圆内
bool InnerOROut(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx)
{
double Radius_2; // 半径的平方
/* double Radius_2T1, Radius_2T2;*/
double Cntrx, Cntry; //圆心坐标
// 求圆心和半径
vector< vector<double> > vecDet1, vecDet2;
vector<double> A, B, C;
// 计算圆心的 x 坐标
A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);
B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);
C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);
vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);
A.clear(); B.clear(); C.clear();
A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);
B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);
C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);
vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);
Cntrx = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));
// 计算圆心的 y 坐标
vecDet1.clear(); vecDet2.clear();
A.clear(); B.clear(); C.clear();
A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(pow(Vrtx0.x, 2.0) + pow(Vrtx0.y, 2.0)); A.push_back(1.0);
B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(pow(Vrtx1.x, 2.0) + pow(Vrtx1.y, 2.0)); B.push_back(1.0);
C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(pow(Vrtx2.x, 2.0) + pow(Vrtx2.y, 2.0)); C.push_back(1.0);
vecDet1.push_back(A); vecDet1.push_back(B); vecDet1.push_back(C);
A.clear(); B.clear(); C.clear();
A.push_back(Vrtx0.x); A.push_back(Vrtx0.y); A.push_back(1.0);
B.push_back(Vrtx1.x); B.push_back(Vrtx1.y); B.push_back(1.0);
C.push_back(Vrtx2.x); C.push_back(Vrtx2.y); C.push_back(1.0);
vecDet2.push_back(A); vecDet2.push_back(B); vecDet2.push_back(C);
Cntry = det_Array(vecDet1) / (2 * det_Array(vecDet2));
// 外接圆的半径的平方
Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);
// 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false
double Rad_V0Cntr;
Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);
if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
这种采用通用的计算行列式值的方法代码会比较多，针对三阶行列式的求解可以采用固定的公式，展开求解，针对这个特定的求解问题会显得简化一些：
// 判断点 Ｐ 是否在圆内
bool InnerOROut1(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx)
{
double Radius_2; // 半径的平方
double Cntrx, Cntry; //圆心坐标
// 求圆心和半径
double a1 = (Vrtx1.x - Vrtx0.x), b1 = (Vrtx1.y - Vrtx0.y);
double c1 = (a1*a1 + b1*b1) / 2.0;
double a2 = (Vrtx2.x - Vrtx0.x), b2 = (Vrtx2.y - Vrtx0.y);
double c2 = (a2*a2 + b2*b2) / 2.0;
double d = (a1*b2 - a2*b1);
Cntrx = Vrtx0.x + (c1 * b2 - c2 * b1) / d;
Cntry = Vrtx0.y + (a1 * c2 - a2 * c1) / d;
Radius_2 = pow(Vrtx0.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx0.y - Cntry, 2.0);
// 判断 Vrtx0 是否在外接圆内或其上，若是，返回 true,否则，返回 false
double Rad_V0Cntr;
Rad_V0Cntr = pow(Vrtx.x - Cntrx , 2.0) + pow(Vrtx.y - Cntry, 2.0);
if (Rad_V0Cntr <= Radius_2)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
主函数的调用示例：
void main()
{
system("color F1");
// -------------------------------------
PointTri P0, P1, P2, P;
P0.x = 0.0; P0.y = 0.0;
P1.x = 0.0; P1.y = 1.0;
P2.x = 1.0; P2.y = 0.0;
P.x = 0.5; P.y = 0.5;
// if (InnerOROut1(P0, P1, P2, P))
if (InnerOROut(P0, P1, P2, P))
{
cout << "P in the circle" << endl;
}
else
{
cout << "P not in the circle" << endl;
}
// -------------------------------------
system("pause");
}
第二种方法
基本思路：
step1 计算\(\angle P_0 P_1 P_2\)和\(\angle P_0 P P_2\)的大小，两个角的大小在[0,\(\pi\)]范围内。
\(\space\space\)step1.1 如果\(\angle P_0 P P_2=0\)，则点\(P\)不在圆内，结束；如果\(\angle P_0 P P_2=\pi\)，则点\(P\)在圆内，结束。
setp2 判断点\(P\)和\(P_1\)是否在\(P_0P_2\)同侧。
\(\space\space\)step2.1 这里通过判断向量积 \(\overrightarrow {P_1P_0} \times \overrightarrow {P_1P_2}\) 与\(\overrightarrow {PP_0} \times \overrightarrow {PP_2}\) 是否同号，如果同号则在同一侧，否则在两侧。
step3 如果点\(P\)和\(P_1\)是在\(P_0P_2\)同一侧，若\(\angle P_0 P_1 P_2 \le \angle P_0 P P_2\)，则点\(P\)在圆内，否则在圆外，结束；如果点\(P\)和\(P_1\)是在\(P_0P_2\)不在侧，若\(\angle P_0 P_1 P_2 + \angle P_0 P P_2 \ge \pi\)，则点\(P\)在圆内，否则在圆外，结束。
// 若果点 Vrtx 在外接圆内或在圆上返回 true, 否则返回 false
bool InnerOROut2(PointTri Vrtx0, PointTri Vrtx1, PointTri Vrtx2, PointTri Vrtx)
{
double PI = 3.14159265358979323846;
// 选择 P0P1 作为边, 相关的向量定义
PointTri P2P0, P2P1, PP0, PP1;
P2P0.x = Vrtx0.x - Vrtx2.x;
P2P0.y = Vrtx0.y - Vrtx2.y;
P2P1.x = Vrtx1.x - Vrtx2.x;
P2P1.y = Vrtx1.y - Vrtx2.y;
PP0.x = Vrtx0.x - Vrtx.x;
PP0.y = Vrtx0.y - Vrtx.y;
PP1.x = Vrtx1.x - Vrtx.x;
PP1.y = Vrtx1.y - Vrtx.y;
// 计算角 P0P2P1,
double angle_P0P2P1;
if (P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y < 0.000001 || P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y < 0.000001)
{
return false;
}
else
{
angle_P0P2P1 = acos((P2P0.x * P2P1.x + P2P0.y * P2P1.y) /
(sqrt(P2P0.x * P2P0.x + P2P0.y * P2P0.y) * sqrt(P2P1.x * P2P1.x + P2P1.y * P2P1.y)));
}
// 计算角 P0PP1,
double angle_P0PP1;
if (PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y < 0.000001 || PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y < 0.000001)
{
// 点 P 与点 P0,P1中的一点重合
return true;
}
else
{
angle_P0PP1 = acos((PP0.x*PP1.x + PP0.y*PP1.y) /
(sqrt(PP0.x*PP0.x + PP0.y*PP0.y) * sqrt(PP1.x*PP1.x + PP1.y*PP1.y)));
}
if (angle_P0PP1 < 0.000001)
{
// 点 P 在线段 P0P1 外，但三点共线
return false;
}
if ((PI/2.0 - angle_P0PP1) < 0.000001)
{
// 点 P 在线段 P0P1 内，三点共线
return true;
}
// 判断点 P2 和 P 在否在直线 P0P1 的同一侧
// 通过向量积来判断，PP0 X PP1, P2P0 X P2P1
double product_P2 = P2P0.x * P2P1.y - P2P1.x * P2P0.y;
double product_P = PP0.x * PP1.y - PP1.x * PP0.y;
if (product_P2 * product_P > 0) // 点 P,P2同侧
{
if (angle_P0P2P1 <= angle_P0PP1)
{
// 在同侧时，角P0P2P1 <= 角P0PP1，点 P 在圆内或圆上
return true;
}
else
{
return false;
}
}
else
{
// 不在同侧时
if (angle_P0PP1+angle_P0P2P1 - PI/2.0 >= 0.0)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
}
}
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