三角形的外接圆

定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

   也有，垂直平分线上的点，到线段两端距离相等。

不共线的三个点定圆，是因为任找两条线段的垂直平分线交点，这个点也在第三条线段的垂直平分线上，使得垂直平分线交点到这个个给定的点的距离相等image-20200706193739240

内接三角形-外接圆

由任意三个不共线的点定圆，故三角形有唯一的外接圆，做法可以如下，三条线段任选两条，分别做垂直平分线，记交点为O，则O为圆点。故三角形的垂直平分线交点确定外接圆。点O称为三角形的外心

  • 一个圆有无数个内接三角形

  • 一个三角形仅有唯一的一个外接圆

  • 外心到三角形三个顶点距离相等

  • 锐角三角形的外心在三角形的内部

  • 其他三角形的外心都不在三角形的内部

对于直角三角形来说

直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点

可由直角三角形斜边上的中线(直角的那个顶点与斜边中点的连线)等于斜边的一半

钝角三角形的外接圆的圆心在三角形外部

由反证法可知：

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平行四边形对角线互相评分

对角线互相平分的四边形是平行四边形

三角形的内切圆

由性质和几何图形可知，三角形内切圆的圆心到三角形的三边距离都相等，故为角平分线。注意：垂直平分线是到线段两点。角平分线是到两边。

  • 三角形的内心是三角形角平分线的交点。即三角形内切圆的圆心

直角三角形

  • 如果一个三角形为直角三角形，则这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半
  • 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形为直角三角形

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