信号与系统_第三章

信号的正交分解
- 相关系数
- 正交条件
连续时间周期信号的傅氏级数
傅氏级数的性质
连续时间非周期信号的傅氏变换
- 傅氏变换
- 典型非周期信号的傅氏变换
傅氏变换的性质
周期函数的傅氏变换
抽样

信号的正交分解

正交条件

\[\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0
\]

上式为

\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)在\(t_1\)至\(t_2\)区间内的正交条件,满足此条件时,称\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)在\(t_1\)至\(t_2\)区间内互为正交函数.

连续时间周期信号的傅氏级数

三角形式的傅氏级数

周期信号\(f(x)\)可表示为如下线性组合

\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_1t+b_n\sin n\omega_1t)
\]

上式是傅氏级数的三角形式,其中的\(a_0,a_n,b_n\)由如下公式定义

\[\begin{cases}
a_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\\
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos n\omega_1tdt,n\\
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin n\omega_1tdt,n
\end{cases}
\]

指数形式的傅氏级数

周期信号\(f(x)\)亦可表示为如下线性组合

\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t}
\]

上式是傅氏级数的指数形式,其中的\(F(n\omega_1)\)被称为谱系数,定义如下

\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt
\]

谱系数也可表示为\(F_n\),如果写成指数式,得\(F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}\),说明他包含了\(n\)次谐波\(|F_n|\)和\(n\)次谐波相位\(\varphi_n\),在频域包含了信号的所有信息.

两种傅氏级数的关系

\[F(\pm n\omega_1)=\frac{1}{2}(a_n\mp jb_n)
\]

周期矩形脉冲的频谱和周期的关系

周期矩形脉冲的傅氏级数为

\[F_n=\frac{E\tau}{T}Sa(\frac{n\pi\tau}{T})
\]

式中\(\tau\)是每一脉冲持续时间,高度为\(E\),重复周期为\(T\).

频谱图的谱线出现的坐标为\(n\omega_1\),其中\(\omega_1=\frac{2\pi}{T}\)为基频(频谱宽度),频谱的包络线的第一零点为\(\omega_0=\frac{2\pi}{\tau}\).

周期越长,频谱越密.

从原点到频谱第一零点的宽度称为频宽/带宽.

时域中信号持续时间越短,频域中信号占有的频带也越宽.

一道典型例题

若已知\(f(t)=1+\sin \omega_1t+2\cos \omega_1t+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\),画出其幅度频谱和相位频谱.

解: 根据辅助角公式\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\arctan\frac{b}{a})\),得

\[\begin{align}
f(t)&=1+\sqrt{1+2^2}\cos(\omega_1t+\arctan(2)-\frac{\pi}{2})+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\notag\\
&=1+\sqrt{5}\cos(\omega_1t-0.148\pi)+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4}) \tag{*}
\end{align}
\]

便可以通过\((*)\)式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.

也可直接转化为指数形式,得

\[\begin{align}
f(t)&=1+\frac{1}{2j}(e^{j\omega_1t}-e^{-j\omega_1t})+(e^{j\omega_1t}+e^{-j\omega_1t})+\frac{1}{2}(e^{j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})}-e^{-j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})})\notag\\
&=1+(1+\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(1-\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}\notag\\
&=\sum_{n=-2}^{2}F_ne^{jn\omega_1t}\notag
\end{align}
\]

谱系数分别为

\[\begin{cases}
\begin{align}
F_0&=1=1\cdot e^{j\cdot 0}\notag\\
F_1&=1+\frac{1}{2j}=1-\frac{j}{2}=1.12e^{-j0.148\pi}\notag\\
F_2&=\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{j0.25\pi}\notag\\
F_{-1}&=1-\frac{1}{2j}=1+\frac{j}{2}=1.12e^{j0.148\pi}\notag\\
F_{-2}&=\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{-j0.25\pi}\notag
\end{align}
\end{cases}\tag{**}
\]

便可以通过\((**)\)式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.

傅氏级数的性质

时移性质

\[f(t-t_0)\leftrightarrow F_ne^{-jn\omega_1t_0}
\]

微分性质

\[f^{\’}(t)\leftrightarrow (jn\omega_1)F_n
\]

对称性质

偶函数

\[\begin{align}
b_n&=0\notag\\
\varphi_n&=0\notag
\end{align}
\]

奇函数

\[\begin{align}
a_0&=a_n=0\notag\\
\varphi_n&=-\frac{\pi}{2}\notag
\end{align}
\]

奇谐函数

\[\begin{align}
a_0&=0\notag\\
a_n&=b_n=0,\text{n is even}\notag
\end{align}
\]

偶谐函数

\[a_n=b_n=0,\text{n is odd}
\]

连续时间非周期信号的傅氏变换

傅氏变换

非周期信号\(f(t)\)的傅氏变换为

\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega
\]

其中\(f(\omega)\)称为频谱函数,定义为

\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
\]

上两式构成一对变换对\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).

傅氏变换存在的充分条件为绝对可积条件,即

\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt=\text{finite value}
\]

典型非周期信号的傅氏变换

矩形脉冲信号(门函数)

\[\begin{align}
f(t)&=G_\tau(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\notag\\
F(\omega)&=\tau\text{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})\notag
\end{align}
\]

单边指数信号

\[\begin{align}
f(t)&=e^{-\alpha t}u(t)\notag\\
F(\omega)&=\frac{1}{\alpha+j\omega}=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}}e^{-j\arctan(\frac{\omega}{\alpha})}\notag
\end{align}
\]

要注意是单边,时域中必须要有\(u(t)\)项,不然不满足此公式.

高斯脉冲信号

\[\begin{align}
f(t)&=e^{-(at)^2}\notag\\
F(\omega)&=\frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-(\frac{\omega}{2a})^2}\notag
\end{align}
\]

直流信号

\[\begin{align}
f(t)&=1\notag\\
F(\omega)&=2\pi\delta(\omega)\notag
\end{align}
\]

符号函数

\[\begin{align}
f(t)&=\text{sgn}(t)=\begin{cases}1,t>0\\-1,t<0\end{cases}\notag\\
F(\omega)&=\frac{2}{j\omega}\notag
\end{align}
\]

单位冲激信号

\[\begin{align}
f(t)&=\delta(t)\notag\\
F(\omega)&=1\notag
\end{align}
\]

冲激偶信号

\[\begin{align}
f(t)&=\delta^{\’}(t)\notag\\
F(\omega)&=j\omega\notag
\end{align}
\]

抽样信号

\[\begin{align}
f(t)&=\text{Sa}(\omega_0t)\notag\\
F(\omega)&=\frac{\pi}{\omega_0}G_{2\omega_0}(\omega)=\frac{\pi}{\omega_0}[u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)]\notag
\end{align}
\]

三角脉冲信号

宽度为\(\tau\),高度为\(E\).

\[\begin{align}f(t)&=\begin{cases}\frac{2E}{\tau}t+E,-\frac{\tau}{2}<t<0\notag\\-\frac{2E}{\tau}t+E,0<t<\frac{\tau}{2}\notag\end{cases}\\F(\omega)&=\frac{E\tau}{2}\text{Sa}^2(\frac{\omega\tau}{4})\notag\end{align}
\]

傅氏变换的性质

对称性

若满足

\[f(t)\leftrightarrow F(\omega)
\]

则有

\[F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega)
\]

若\(f(t)\)是偶函数,则有

\[F(t)\leftrightarrow 2\pi f(\omega)
\]

此性质的意义为若一个时间函数\(F(\omega)\)和偶函数\(f(t)\)的频谱函数\(F(\omega)\)形式相同,那么\(F(t)\)的频谱函数与偶函数\(f(t)\)形式相同,但是差一个系数\(2\pi\).

时移特性

\[f(t-t_0)\leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0}
\]

尺度变换特性

\[f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})
\]

一般的,有

\[f(at+b)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}e^{j\omega(\frac{b}{a})}F(\frac{\omega}{a})
\]

频移特性

\[f(t)e^{j\omega_0t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0)
\]

此性质的意义是在时域乘以虚数因子\(e^{j\omega_1t}\)相当于在频域右移\(\omega_0\).

通过此性质可迅速得出虚指数信号\(e^{j\omega_0t}\)的傅氏变换

\[e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)
\]

时域微分特性

\[f^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega)^nF(\omega)
\]

频域微分特性

\[(-jt)^nf(t)\leftrightarrow F^{(n)}(\omega)
\]

特殊的,有

\[tf(t)\leftrightarrow jF^{\’}(\omega)
\]

此式更常用.

在时域中信号乘以\(t\)或者\(t^n\)要迅速想到套用该公式.

时域积分特性

如果在\(\omega=0\)时,\(F(0)=0\)或者\(\frac{F(\omega)}{\omega}\)有界,则有

\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow \frac{F(\omega)}{j\omega}
\]

如果在\(\omega=0\)时,\(F(0)\ne0\),则有

\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{j\omega}
\]

卷积定理

\[\begin{align}
f_1(t)*f_2(t)&\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)\notag\\
f_1(t)f_2(t)&\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)\notag
\end{align}
\]

卷积定理是通信与信号处理领域应用最广泛的傅氏变换性质.

帕塞瓦尔定理

周期信号\(f(t)\)的平均功率与傅氏系数的关系为

\[P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2
\]

这表示信号的平均功率等于傅氏级数各次谐波分量有效值的平方和,时域和频域的能量是守恒的.

\[\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega\notag\\
\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\int_{-\infty}^{\infty}|F(f)|^2df\notag
\end{align}
\]

上式即为帕塞瓦尔定理,说明信号经过傅氏变换,信号的能量不变,符合能量守恒定律.注意系数\(\frac{1}{2\pi}\).

信号的功率和能量

\[\begin{align}
E&=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag\\
P&=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag
\end{align}
\]

周期函数的傅氏变换

表达式

设一周期信号的周期为\(T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}\),则其傅氏变换为

\[F_T(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1)
\]

其中

\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt
\]

通过脉冲求周期信号的傅氏变换

设脉冲信号为\(f_0(t)\),其傅氏变换为\(F_0(\omega)\),即

\[f_0(t)\leftrightarrow F_0(\omega)
\]

则由此脉冲信号组成的周期信号的傅氏变换满足以下关系

\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}F_0(\omega)|_{\omega=n\omega_1}
\]

再代入下式即可

\[F(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1)
\]

冲激序列

\[\delta_{t_0}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega_0t}
\]

\[\delta_{t_0}\leftrightarrow \omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0)
\]

正弦/余弦函数

\[\begin{align}
sin(\omega_0t)&\leftrightarrow -j\pi[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\notag\\
cos(\omega_0t)&\leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\notag
\end{align}
\]

抽样

理想抽样

使用单位冲激序列进行抽样,由于单位冲激序列的傅氏变换为

\[P(\omega)=\omega_1\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_1)
\]

式中\(T_s\)为脉冲间隔.所以有

\[F_s(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_1)
\]

矩形脉冲抽样

使用矩形脉冲抽样,由于矩形脉冲的傅氏变换为

\[P(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})e^{jn\omega_st}
\]

所以有

\[F_s(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s)
\]

抽样定理

对于一个时间信号,其带宽最高频为\(\omega_m\)或\(f_m\),则将最低允许的抽样频率

\[f_s=2f_m
\]

称为麦奎斯特抽样频率.

将最大允许的抽样间隔

\[T_s=\frac{1}{2f_m}=\frac{\pi}{\omega_m}
\]

称为麦奎斯特抽样间隔.

本文链接：https://www.cnblogs.com/Clouds42/p/11801142.html

信号与系统_第三章_学习心得