洛谷P1291 [SHOI2002]百事世界杯之旅 [数学期望]

cytus 2021-08-29 原文

　　题目传送门

百事世界杯之旅

题目描述

“……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获得球星背包，随声听，更克赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！”

你关上电视，心想：假设有n个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？

输入输出格式

输入格式：

整数n（2≤n≤33），表示不同球星名字的个数。

输出格式：

输出凑齐所有的名字平均需要买的饮料瓶数。如果是一个整数，则直接输出，否则应该直接按照分数格式输出，例如五又二十分之三应该输出为（复制到记事本）：$ $\frac{3}{20}$第一行是分数部分的分子，第二行首先是整数部分，然后是由减号组成的分数线，第三行是分母。减号的个数应等于分母的为数。分子和分母的首位都与第一个减号对齐。$

分数必须是不可约的。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

　　分析：

　　很明显的数学期望。

　　首先我们设当前还需要收集$k$个球星，现在的装态为$f(n,k)$，那么转移的方程就是：$f(n,k)=\frac {(n-k)*f(n,k)}{n}+\frac {k*f(n,k-1)}{n}+1$，因为很明显我们收集到了$n-k$个球星，那么抽到没收集到的球星的概率为$\frac {k}{n}$，抽到收集到的球星的概率为$\frac {n-k}{n}$，后面的那个+1就是代表多买了一瓶饮料。然后把方程移项，得到：$f(n,k)=f(n,k-1)+\frac {n}{k}$。然后注意输出就行了。

　　Code：

//It is made by HolseLee on 25th July 2018
//Luogu.org P1291
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,ans,m=1,ka;
inline ll gcd(ll x,ll y)
{
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
inline ll get(ll x)
{
    ll ret=0;
    while(x){
        ret++;x/=10;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        ans=ans*i+m*n;
        m*=i;ka=gcd(ans,m);
        ans/=ka;m/=ka;
    }
    ka=ans/m;
    ans%=m;
    if(ans==0)
        printf("%lld\n",ka);
    else {
        ll gi=get(ka),lu=get(m);
        for(int i=1;i<=gi;i++)
            printf(" ");
        printf("%lld\n",ans);
        if(ka>0)
            printf("%lld",ka);
        for(int i=1;i<=lu;i++)
            printf("-");
        printf("\n");
        for(int i=1;i<=gi;i++)
            printf(" ");
        printf("%lld\n",m);
    }
    return 0;
}