从零开始的数学建模：（四）模糊综合评价
一、确定隶属函数
（1）模糊统计法
发放问卷，确定隶属度与隶属函数，多用于科研，不适用于数模，因此不详细描述；
（2）借助已有的客观尺度
借助实际存在的指标数据，将模糊转为具体，例如模糊集为“小康家庭”，论域为“家庭”，则隶属度可以是“恩格尔系数”；（注意选取的指标的值必须在0到1之间，否则要进行归一化处理）
还有一些常见的操作比如偏大型指标，可以用数值除以约束值，举个例子，某地的矿石储量为8800，现有多种方案开发矿石，隶属函数可表示为：
\]
x的值越大，函数值越大，也就是隶属度越大，符合偏大型指标的定义；
对于偏小型指标，只需要将上式改写为:
\]
（3）指派法
主观性较强，但数模比赛中使用最多；常用几个分布函数如下图所示，用的较多的是梯形分布：
举个例1，以柯西型分布为例，模糊集“年轻人”是偏小型（偏向小值，值越小，隶属度越接近1，所以是偏小型），我们可主观确定20岁以下均为年轻人，因此\(a\)可以取20；而30岁的年龄不算年轻也不算老，可主观认为\(A(30)=0.5\)，对于\(\beta\)的取值，为了起到简化模型的目的，一般取1或2；由以上三个条件，即可把函数中的未知数\(\alpha\)反解出来；
例2：
二、一级模糊综合评价
简单来说，我们要做的第一步是确定因素集\(U\)，即确定能影响最终评语的多个因素，例如影响空气的污染物有二氧化硫、二氧化氮、一氧化碳等；
第二步是确定评语集\(V\)，例如空气质量可以被分为一级、二级、三级、四级；
第三步是确定因素集的权重\(A\)（有数据就用熵权法，没数据可以考虑层次分析法）；
第四步是确定综合评价矩阵\(R\)，这一步的过程参照例2（当然，例2只是通过分布函数来求\(R\)的一种办法，还有其他的方法参考“一、确定隶属函数”中的描述）；
第五步是利用\(A \times R\)求出综合评价；
一级模糊综合评价适用于因素集个数为5左右的问题，举例如下：
第一步，仿照例2，将SO2、TSP、NOX等6种污染物各自的4个隶属函数求出来；
第二步，将各污染物的日均浓度分别代入各自的4个隶属函数，即可求得隶属度矩阵（模糊综合判断矩阵）\(R\):
第三步，计算污染物权重矩阵\(A \times R\)，可得出结论空气质量属于二级；
三、多级模糊综合评价
随着因素集的数目增加，这些因素之间势必将出现重叠的部分，因此可以将有重叠的因素归为同一类，这就是“多级”的思想；
右边的红色框中的数字表示各自的权重；假设经过投票，得到一级指标“学习成绩”下的二级指标“专业课成绩”与“非专业课成绩”的综合评判矩阵\(R1\)，通过权重可以求得最终评判结果\(B1\):
类似的可以求出\(B2\)、\(B3\)、\(B4\)，再乘上一级指标的权重，可得到一级指标的最终评判结果：
本文算法思想参考源于清风建模，特此注明