模糊控制——理论基础（1）
1、模糊控制
模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。
2、特点
（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。
（2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和”，易于被一般人所接受。
（4）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。
（5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。
3、模糊集合
模糊集合是模糊控制的数学基础。
模糊集合的表示
① 模糊集合A由离散元素构成，表示为散元素构成，表示为：
② 模糊集合A由连续函数构成，各元素的隶属度就构成了隶属度函数（Membership Function），此时A表示为：
在模糊集合的表达中，符号“/”、“+”和“∫”不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。
模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念是模糊集合理论的基石。
例3.1 设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都学习好，但又有差异。
若采用普通集合的观点，选取特征函数
此时特征函数分别为 C(张三)=1，C(李四)=1，C(王五)=1。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取[0，1]区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的差异。
采用隶属函数 μA (x)=x/100，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为 C(张三)=0.95，C(李四)=0.90，C(王五)=0.85。用“学习好”这一模糊子集A可表示为：
A={0.95,0.90,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。
例3.2 以年龄为论域，取X=[0,100]。Zadeh给出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为:
通过Matlab仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线如图3-1所示。
4、模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。
（1）空集
模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即：
（2）全集
模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即
（3）等集
两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即
（4）补集
若 为A的补集，则：
（5）子集
若B为A的子集，则
（6）并集
若C为A和B的并集，则
一般地，
（7）交集
若C为A和B的交集，则
一般地，
注意：模糊集合的运算符虽然和数学上集合的符号相同，但意思完全不同
（8）模糊运算的基本性质
5、模糊算子
模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算过程。采用隶属函数的取大（MAX）-取小（MIN）进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。但还有其它公式，这些公式统称为“模糊算子”。
设有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下：