b## 2d射影几何和变换 ##

标签（空格分隔）： 计算机视觉中的多视图几何

• 直线的齐次表示：l=(a,b,c)Tl=(a,b,c)T
• 点的齐次表示：x=(x1,x2,x3)Tx=(x1,x2,x3)T。点的欧式坐标(x1/x3,x2/x3)(x1/x3,x2/x3)
• 点在线上: xTl=0xTl=0，即 ax1+bx2+cx3=0ax1+bx2+cx3=0
• 直线的交点： x=l1×lT2x=l1×l2T
• 过两点的直线： l=x1×xT2l=x1×x2T
• 理想点/无穷远点： x=(x1,x2,0)Tx=(x1,x2,0)T
• 无穷远直线： l=(a,0,1)Tl=(a,0,1)T

• 射影平面的模型：
  

• 二次曲线：共5个自由度
  

  ax21+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx23=0ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0
  xTCx=0xTCx=0
  C=⎡⎣⎢ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f⎤⎦⎥C=[ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f]

• 五点确定一条二次曲线： 列出齐次方程组即可

• 非退化二次曲线的切线： l=Cxl=Cx。证明：1. 点在线上；2. 若线上有另一点在二次曲线上，则整条直线x+αyx+αy在二次曲线上
• 对偶二次曲线： lTC−1l=0lTC−1l=0。证明：x=C−1lx=C−1l代入点二次曲线即可
• 退化二次曲线： 非满秩矩阵CC所定义的二次曲线

• 射影变换：射影空间到自身的一种可逆映射，满足三点x1,x2,x3x1,x2,x3共线当且仅当h(x1),h(x2),h(x3)h(x1),h(x2),h(x3)也共线。所以射影变换也叫保线变换
• 映射hh是射影变换⟺⟺存在3×3的非奇异矩阵HH，使得h(x)=Cxh(x)=Cx

• 射影变换： x′=Hxx′=Hx，有8个自由度。平面坐标变换HH也会变，但是唯一存在
  

• 消除射影失真： 需要一般位置上的4个点
  
  

• 直线射影变换： l′=H−Tll′=H−Tl
• 二次曲线射影变换：C′=H−TCH−1C′=H−TCH−1

• 等距变换:不变量有长度，角度，面积等
  

  ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢εcosθεsinθ0−sinθcosθ0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[εcosθ−sinθtxεsinθcosθty001][xy1]

  其中，εε =1，则是保向的（x轴逆时针旋转90°到y轴）。推导：极坐标推导即可

• 相似变换：
  

  ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢kcosθksinθ0−ksinθkcosθ0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[kcosθ−ksinθtxksinθkcosθty001][xy1]

  度量结构是确定到只相差一个相似变换的结构

• 仿射变换：一个非奇异线性变换和一个平移变换的复合
  

  ⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a11a210a12a220txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[a11a12txa21a22ty001][xy1]

• 射影变换：理想点可能被映射到有限点
  

  x′=Hpx=[AvTtk]x′=Hpx=[AtvTk]

• 射影变换分解：
  

• 在射影变换H下，无穷远直线l∞l∞是不动直线⟺⟺H是仿射变换

• 恢复到仿射性质：

  1. 如果l∞l∞的像是l=(l1,l2,l3)Tl=(l1,l2,l3)T，在像上加射影变换，即可
     
     H=HA⎡⎣⎢10l101l200l3⎤⎦⎥H=HA[100010l1l2l3]
  2. 确定l∞l∞的像
     
     

• 在射影变换H下，虚原点I=(1,i,0)TI=(1,i,0)T和J=(1,−i,0)TJ=(1,−i,0)T是不动点⟺⟺H是相似变换

• 与虚原点对偶的二次曲线： C∗∞=IJT+JITC∞∗=IJT+JIT
• 在射影变换H下，与虚原点对偶的二次曲线： C∗∞=IJT+JITC∞∗=IJT+JIT不变⟺⟺H是相似变换
• 欧式角的测量：
  
• 在射影平面上，一旦C∗∞C∞∗被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换
  
  
• 度量矫正Ⅰ： 在已经仿射矫正过的图像上找到世界平面的2对垂直线
  
  
• 度量矫正Ⅱ： 在图像上找到世界平面的5对垂直直线
  

• 极点-极线： 点x关于二次曲线C的极线l=Cxl=Cx与C交于两点。C的过这两点的切线相交于x
  
  证明： y是C上的点，切线是CyCy。若满足xTCy=0xTCy=0，则x在此切线上。xTCy=(Cx)Ty=0xTCy=(Cx)Ty=0，所以y在l=Cxl=Cx上。
• 如果x在C上，则极线就是过x点的切线
• 对射：映射平面点到映射平面线的可逆映射
• 如果x在y的极线上，那么y在x的极线上
• 任何二次曲线都映射等价于一个由diag(a,b,c)diag(a,b,c)表示的二次曲线，a,b,c=1或-1
  
• 欧式几何中的双曲线、椭圆、抛物线都射影等价于圆