• Riemann Zeta函数

华东师大版《数学分析》上册第2.3节例1引出了Riemann Zeta函数的定义合理性,

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},\quad s>1.
\]

围绕Riemann Zeta函数与Euler乘积公式

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =\prod_{p\textrm{是素数}} \frac{1}{1-p^{-s}},
\]

\(\zeta(3)\)是无理数的证明(也可参考清华大学刘思齐老师的视频), Riemann Zeta函数的解析延拓(利用复变函数知识), Riemann假设等开展资料收集整理和学习.

  • \(\Bbb{R}^n\)中的连通开集(即开区域).

华东师大版《数学分析》下册第16.1节, 如果\(D\)是一个非空开集, 并且具有连通性, 即\(D\)中任意两点都可以用一条含于\(D\)的有限折线连接, 则称\(D\)为开区域. 但是有些教材中，连通性却不是这样定义，例如常庚哲史济怀的《数学分析教程》，梅加强的《数学分析》，Rudin的《数学分析原理等》。尝试证明关于区域连通性的不同定义其实都是等价的。（提示：参考Amann和Escher的教材Ananlysis I的第3章第4节)

  • 多重积分换元公式的严格证明.

最简微分同胚法(可参考卓里奇的《数学分析》教材). Schwarz方法. 微分形式与不动点方法.

  • 微分形式

华东师大版《数学分析》第三版下册附录中简单介绍了微分形式. 国内近些年出版的一些数学分析教材也加入了微分形式的内容.

  • 多重线性代数、张量

  • 扩充复平面、复球面和球极投影映射的分析学性质

  • Cauchy积分定理的同伦形式和同调形式

可参考余家荣《复变函数专题选讲》第1章.

  • \(\Gamma\)函数的解析延拓

参考Stein《复分析》.

  • Weierstrauss逼近定理

Weierstrauss多项式逼近定理和Weierstrauss三角多项式逼近定理. Stone-Weierstrauss逼近定理(可参考Rudin《数学分析原理》).

  • Euler积分与分数阶微积分

  • 多重反常积分的收敛与Cauchy主值收敛

  • 椭圆积分与椭圆模函数

  • 平方根的数值计算方法

整理，理论分析并编程. 二分法, 牛顿迭代法, 其它方法等.

  • 圆周率\(\pi\)的数值计算方法

整理，理论分析并编程. BBP公式, 算术几何平均(AGM)算法, 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法, 快速傅里叶变换(FFT)等.

  • Newton迭代法的理论基础及应用实例

  • Fourier变换和Laplace变换在微分方程中的应用

  • 微分方程的级数解

  • 抽象测度论

  • 概率密度函数的导出

常见的几种概率分布的概率密度函数是怎么导出的？

  • Fourior级数的逐点收敛, 一致收敛和\(L^2\)收敛

  • 抽象(Banach)空间上的微积分

Frechet微分、Gateaux微分等可参考郭大钧《非线性泛函分析》.

  • 非扩张映射的不动点及其迭代算法

  • 矩阵求导

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