向量的点积：

假设向量u(u_x, u_y)和v(v_x, v_y)，u和v之间的夹角为α，从三角形的边角关系等式出发，可作出如下简单推导：

  |u – v||u – v| = |u||u| + |v||v| – 2|u||v|cosα  

===>
 
  （u_x – v_x）² + (u_y – v_y)²  = u_x² + u_y² +v_x²+v_y²– 2|u||v|cosα

===>
  
   -2u_xv_x – 2u_yv_y = -2|u||v|cosα

===>

   cosα = (u_xv_x + u_yv_y) / (|u||v|)

这样，就可以根据向量u和v的坐标值计算出它们之间的夹角。

定义u和v的点积运算： u . v = (u_xv_x + u_yv_y)，

上面的cosα可简写成： cosα = u . v / (|u||v|)

当u . v = 0时（即u_xv_x + u_yv_y = 0），向量u和v垂直；当u . v > 0时，u和v之间的夹角为锐角；当u . v < 0时，u和v之间的夹角为钝角。

可以将运算从2维推广到3维。

向量的叉积：

假设存在向量u(u_x, u_y, u_z), v(v_x, v_y, v_z), 求同时垂直于向量u, v的向量w(w_x, w_y, w_z).

因为w与u垂直，同时w与v垂直，所以w . u = 0, w . v = 0; 即

u_xw_x + u_yw_y + u_zw_z = 0;
v_xw_x + v_yw_y + v_zw_z = 0;

分别削去方程组的w_y和w_x变量的系数，得到如下两个等价方程式：

(u_xv_y – u_yv_x)w_x = (u_yv_z – u_zv_y)w_z
(u_xv_y – u_yv_x)w_y = (u_zv_x – u_xv_z)w_z

于是向量w的一般解形式为：

w = (w_x, w_y, w_z) = ((u_yv_z – u_zv_y)w_z / (u_xv_y – u_yv_x), (u_zv_x – u_xv_z)w_z / (u_xv_y – u_yv_x), w_z)
  = (w_z / (u_xv_y – u_yv_x) * (u_yv_z – u_zv_y, u_zv_x – u_xv_z, u_xv_y – u_yv_x))

因为：

   u_x(u_yv_z – u_zv_y) + u_y(u_zv_x – u_xv_z) + u_z(u_xv_y – u_yv_x)
 = u_xu_yv_z – u_xu_zv_y + u_yu_zv_x – u_yu_xv_z + u_zu_xv_y – u_zu_yv_x
 = (u_xu_yv_z – u_yu_xv_z) + (u_yu_zv_x – u_zu_yv_x) + (u_zu_xv_y – u_xu_zv_y)  
 = 0 + 0 + 0 = 0

   v_x(u_yv_z – u_zv_y) + v_y(u_zv_x – u_xv_z) + v_z(u_xv_y – u_yv_x)  
 = v_xu_yv_z – v_xu_zv_y + v_yu_zv_x – v_yu_xv_z + v_zu_xv_y – v_zu_yv_x
 = (v_xu_yv_z – v_zu_yv_x) + (v_yu_zv_x – v_xu_zv_y) + (v_zu_xv_y – v_yu_xv_z)
 = 0 + 0 + 0 = 0

由此可知，向量(u_yv_z – u_zv_y, u_zv_x – u_xv_z, u_xv_y – u_yv_x)是同时垂直于向量u和v的。

为此，定义向量u = (u_x, u_y, u_z)和向量 v = (v_x, v_y, v_z)的叉积运算为：u x v = (u_yv_z – u_zv_y, u_zv_x – u_xv_z, u_xv_y – u_yv_x)

上面计算的结果可简单概括为：向量u x v垂直于向量u和v。

根据叉积的定义，沿x坐标轴的向量i = (1, 0, 0)和沿y坐标轴的向量j = (0, 1, 0)的叉积为：

 i x j = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0 * 0 – 0 * 1, 0 * 0 – 1 * 0, 1 * 1 – 0 * 0) = (0, 0, 1) = k

同理可计算j x k:
 
 j x k = (0, 1, 0) x (0, 0, 1) = (1 * 1 – 0 * 0, 0 * 0 – 0 * 1, 0 * 0 – 0 * 0) = (1, 0, 0) = i

以及k x i:

 k x i = (0, 0, 1) x (1, 0, 0) = (0 * 0 – 1 * 0, 1 * 1 – 0 * 0, 0 * 0 – 0 * 0) = (0, 1, 0) = j

由叉积的定义，可知：

 v x u = (v_yu_z – v_zu_y, v_zu_x – v_xu_z, v_xu_y – v_yu_x) = – (u x v)