改进的蝴蝶算法的详细介绍
蝴蝶算法是一种常用的插值细分算法，由NIRA DYN and DAVID LEVIN (Tel-Aviv University) and JOHN A. GREGORY (Brunei University)在论文A Butterfly Subdivision Scheme for Surface Interpolation with Tension Control 提出，但是原始算法在度不为6的点不光滑，Denis Zoriny Peter Schr ¨ odery Wim Sweldens在论文Interpolating Subdivision for Meshes with Arbitrary Topology中提出了改进的蝴蝶算法，可以在任意的三角网格上生成G1连续的细分曲面。
但是我之前在实现改进的蝴蝶算法时总是没看懂，因为在一个端点（V1）的度为6而另一个端点（V2）不为6的情形下，到处查找到底资料只是解释了与V2相邻的端点的权重，而且这些权重相加为1/4。但是应该严格保证权重之和为1。我猜测V2的权重为3/4，查找了很多论文都没有清晰的解释，在《地理与地理信息科学》上看到一篇《一种改进的自适应蝴蝶细分算法及其在三维地质建模中的应用》，请教了作者，感谢董攀同学的回信给出了详细的解释，现将回信中的附件发在这里，不知道算不算侵权诶。
（3）Butterfly算法简介
该算法的输入数据为原始控制TIN面网，输出数据为加密后的TIN面网（经过插值）。具体过程如下：
①对于每一个三角形，在每条边的中点处附近插值，把每个三角形一分为四（如图2）。
②新插入的点（即所谓奇点）都在已有三角形的边上。对于它们的坐标点的计算，将分以下几种情况：
（a）当该奇点所在边的两个端点的度均为6时（如图3）
如上图所示，中间黄色点为插入的奇点，它的坐标值通过周围八个点（绿色）的坐标值加权平均得到。并且周围的点按权重不同可分为三类，各自权重如下：
a = 1/2，b = 1/8，c = -1/16
（b）当该奇点所在边的两个端点中，一个端点的度为6，另一个不为6时（如图4）
如图4所示，奇点所在的边的两个端点中，点v的度不为6，点e0的度为6，则奇点的坐标值要根据点v及v的所有相临结点（绿色）的坐标加权得到。v点的权重如下：
v = 3/4
假设点v共有n个邻结点，则各邻结点的权值可根据n值的不同分别计算：
n = 3时：e0 = 5/12，e1 = e2 = -1/12；
n = 4时：e0 = 3/8，e1 = 0，e2 = -1/8，e3 = 0；
n ≥ 5时：ej = [1/4 + cos(2∏*j/n) + 1/2 * cos(4∏*j/n)]/n，其中j = 0，1，…，n-1。
（c）当该新边点所在边的两个端点的度均不为6时（如图5）
先以v1为中心，按前述（b）情况中的方法计算出奇点的坐标，记为(x1，y1，z1)，再以v2为中心同样计算出奇点的坐标，记为(x2，y2，z2)，然后对两组坐标取平均值，得到奇点的坐标。
（d）当该奇点所在边是初始控制网的边界时（当网格不闭合时存在这种情况，如图6），采用四点法。
此时参与计算的各点的权值取值如下：
a = 9/16，b = -1/16
改进的蝴蝶细分和loop细分的对比图如下：
原始网格
两次loop的效果
两次改进蝴蝶细分的效果
可以看出还是loop细分的曲面视觉效果更加好。
而且在初始网格太过稀疏的情况下，蝴蝶细分出来的效果很不理想：
初始网格，左边为面显示右边为线显示
一次改进的蝴蝶细分
四次蝴蝶细分后的图像