引导图滤波（Guided Image Filtering）原理以及OpenCV实现

引导图滤波器是一种自适应权重滤波器，能够在平滑图像的同时起到保持边界的作用，具体公式推导请查阅原文献《Guided Image Filtering》以及matlab源码：http://kaiminghe.com/eccv10/index.html。这里只说一下自适应权重原理、C++实现灰度图像以及彩色图像的引导图滤波、验证结果。

自适应权重原理

引导图滤波作为一种线性滤波器，可以简单定义为如下形式：

其中I是引导图像(guided Image)，P是输入的待滤波图像，Q是滤波后的输出图像，W是根据引导图I确定的权重值。权重值W可以用下式表示（原文献有详细推导）：

μk是窗口内像素点的均值，Ii和Ij指相邻两个像素点的值，σk代表窗口内像素点的方差，ε是一个惩罚值。自适应权重可以根据上式分析得到：Ii和Ij在边界两侧时，(Ii-μk)和(Ij-μk)异号，否则，则同号。而异号时的权重值将远远小于同号时的权重值，这样处于平坦区域的像素则会被加以较大的权重，平滑效果效果更明显，而处于边界两侧的像素则会被加以较小的权重，平滑效果较弱，能够起到保持边界的效果。
惩罚值ε对滤波效果影响也很大，当ε值很小时，滤波如前面所述；当ε值很大时，权重的计算公式将近似为一个均值滤波器，平滑效果会更明显。

同样也可以根据线性滤波公式来看引导图滤波的自适应权重原理，局部线性滤波模型公式如下：

I指引导图像，Q是输出图像，ak和bk两个系数根据引导图I和输入图像P共同决定。将上式两边求梯度，可以得到▽q=a*▽I，即输出图像的梯度信息完全由引导图像的梯度信息决定，当引导图中有边界时，输出图像中对应位置也会有边界。而a和b的值将会决定梯度信息和平滑信息的权重大小。
通过观察a和b的公式，a的分子为I和P的协方差，分母部分为I的方差加上截断值ε；b的值为P的均值减去a乘以I的均值。可以看出当a值很小时，b约等于窗口内像素点的均值pk，近似于均值滤波；而当a值很大时，输出则主要取决于a*▽I的大小，梯度信息能够得到保留。
C++实现灰度图像以及彩色图像的引导图滤波
根据原文献中提供的伪代码，不难用C++实现引导图滤波算法。伪代码如下：

这里需要分两种情况，1.引导图为单通道的灰度图；2.引导图为三通道的彩色图。

引导图为单通道
分别算出I与P的均值图像，以及I²和I*P的均值图像；再求出I的方差图像，以及I*P的协方差图像；利用公式求出a和b的值；再窗口内对a和b求均值；再根据公式算出输出图像。
这里又分为两种情况：
①输入图为单通道：按照上述步骤计算即可。
②输入图为三通道：先分离三个通道，对每个通道进行上述滤波操作，然后合并通道即可。
引导图为三通道
此时，将上述模型做了稍微修改，如下：

不同之处在于求a时将原来的方差σ替换为协方差3×3矩阵∑k，表示如下:

U是3×3单位矩阵，求出来的a将不再是一个值，而是一个1*3的向量，然后求b。a为1*3的向量，μk为3*1的向量，相乘后b为一常量，由此可以求得常量b的值。

这里又分为两种情况：
①输入图为单通道：按照上述步骤计算即可。
②输入图为三通道：先分离三个通道，对每个通道进行上述滤波操作，然后合并通道即可。

注：引导图为彩色图比引导图为灰度图，边界保护更加明显，见原文。

效果验证

代码里面求均值部分，可以由OpenCV中的boxFilter（）函数实现，或者blur（）函数实现。总之是一个均值滤波器，之所以与窗口大小无关，是因为使用直方图实现的均值滤波，能够大大降低运算时间。VS2015+OpenCV3.4.0实现的代码放在我的码云code上：https://gitee.com/rxdj/guidedFilter.git。
主要输入参数就是引导图I，输入图P，窗口半径r，截断值ε，输出参数为滤波后图像Q。引导图I和输入图像P可以相同，也可以不同，比如stereo matching中常常用原参考图像作为引导图，对代价空间图进行引导图滤波以实现代价聚合。这样能尽量保留原图像边界区域的匹配代价，而平滑平坦区域的匹配代价。
(注：文献中的代码是通过matlab编写的，matlab中读取图像时会自动将图像归一化到0-1，因此截断值ε的设置也对应小很多，比如0.1,0.01等。而本文中读取图像后未进行归一化操作，所以截断值ε的设置会有不同。如果需要归一化，则自行读取图像后除以255即可）。