逻辑回归算法背后的数学

看完Andrew Ng老师的机器学习公开课后，对于逻辑回归部分，打算写篇学习笔记记录总结一下，也和大家共同分享。

1  基本思能

逻辑回归（Logistic Regression）和线性回归（Linear Regression）的模型和原理是相似的（哈哈，给我的感觉就像是街霸游戏里的Ryu和Ken），按照我的理解，算法大致可以分为以下步骤：

（1）构造一个合适的预测函数，假设记为h函数。该函数就是我们需要找的分类函数，它用来预测输入数据的判断结果。这个过程非常关键，需要对数据有一定的了解或分析，知道或者猜测预测函数的“大概”形式（走势），比如是线性函数还是非线性函数。（例如y=x，y=x2，y=x3…… 等形式的函数）

（2）构造一个损失函数（loss function）并合成一个代价函数（cost function）。损失函数是表示每一个样本上，预测的输出h与训练数据类别（即真实值）y之间的偏差，可以是二者之间的差（h-y），也可以是（h-y）2（貌似这种常用一点，避免了可能出现负数的情况）或者是其他的形式。综合考虑所有训练数据的“损失”，将其求和或者求平均，就变成了代价函数，记为J(θ)函数（这里的参数θ是指预测函数里面的系数）

（3）寻找代价函数最小值并确定参数。显然，我们希望J(θ)函数的值越小越好，因为这表示我们预测的和实际值越小了，预测函数的表现效果就越好，所以这一步需要做的是找到J(θ)函数的最小值。找函数的最小值有不同的方法，这里要提到的是梯度下降法（Gradient Descent），当然也有其他优秀的算法。

2 推导过程

1 ）构造预测函数

逻辑回归是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种，表示为0和1）。根据上面步骤，需要先找到一个预测函数hθ(x)，在这里，我们假设是线性边界的情况，表示形式为：

因为逻辑回归的输出必须是两个值，所以要利用Logistic函数（或称为Sigmoid函数），把输出控制在0到1之间，函数形式为：

它的函数图像为：

结合这两个函数，我们可以得到：

好了，到了这里我们已经定义了一个预测函数，应当注意，hθ(x)的输出值的含义是：它表示结果取1的概率。

2）构造损失函数和代价函数

按照直观思想，或是参照线性回归的代价函数，我们可以写出以下的代价函数：

这个代价函数在线性回归里表现的很好，但是用于逻辑回归的话，会变成参数θ的非凸函数。也就是说，假如我们把用在线性回归那一套用在逻辑回归上的话，那么可能会出现下面的情况：

即函数会出现多个局部最优解，这样的函数就是非凸函数。显然，如果我们使用梯度下降法求解的话，往往不能保证它能收敛到全局最小值（因为算法终止条件是导数为0或接近0）。相应地，我们希望代价函数可以是一个凸函数，图像是这样的：

这样一来，我们一旦使用梯度下降法的时候就可以保证能收敛到全局最优解了。之所以会出现非凸函数的问题，是因为在逻辑回归里引入了Sigmoid函数，但它作用在上面的那个J(θ)后，就会出现多个局部最小值的情况。

为了解决这个问题，在极大似然法的基础上，人们提出了运用在逻辑回归的损失函数是：

整合成一个式子就是：

所以最后代价函数的形式是：

为了帮助理解这个cost函数，我们使用Python的matplotlib画一下两种情况的相关图像。

y=1时：

y=0时：

由此我们可以看出，无论是y=0还是y=1的情况，当我们的预测值越接近真实值时，误差会越来越小，当离真实值越远时，误差便越来越大，趋于无穷。结合图像一起看，应该不难理解这个函数了。

3） 求解代价函数最小值和参数

在这里，我们用到的是梯度下降法。我们这里只讨论系数是一维的情况，主要是考虑到比较容易理解，也容易用图像表达出来。其实，假如系数是多维的话，核心的思想也是一样的，说白了就是求得导数（多维时就是偏导数）为0（或者设置一个阈值接近0）即可。

接下来就来具体讨论一下。

首先看一下梯度下降法的模式，它的本尊长这样：

其中θ是我们要求解的系数，α是学习步长。接下来看一下为什么可以用这一条公式来求解最小值（假设此时代价函数已经是凸函数）。

上面说过，我们只讨论最简单的一种情况，即一维系数。我们分两种情况来看一下。

第一种情况，假设我们的θ初始值大于最优解，那么我们可以得到这样的图像：

这张图像很好地解释了这个公式的可行性：如果此时的θ在最优解的右边，我们对其进行求导，显然此刻导数为正，那么根据上面的公式，就会减小θ，使其向最优解的方向靠拢。

第二种情况，θ初始值小于最优解，那么我们可以得到这样的图像：

此时的θ在最优解的左边，我们对其进行求导，显然此刻导数为负，那么根据公式，就会增大θ，使其向最优解的方向靠拢。

当然，严格来讲还有第三种，就是我们初始化参数的时候，可以刚刚好满足了我们的要求，然而这个通常不大可能，运气得多好啊，哈哈。。。

所以，这就是梯度下降法的核心思想（看到这里有没有感觉其实也不是很难），我们接下来把它运用到逻辑回归的代价函数里，可以得到这样一个式子：

这就是逻辑回归中梯度下降更新系数θ的公式了。

写到这里已经快接近尾声了，在梯度下降法中，还要一点点小问题，就是关于步长α的取值，需要注意的是，当α过大时，可能会不小心就错过了最优解，因为步子迈得大了；α过小时，算法在收敛上会变慢，因为每次只前进那么一点点。所以这个貌似要看经验，并且一般都会试一下好几个不同的步长α来检验算法，避免偶然性。

对于梯度下降而言，因为每次要涉及计算到全部的样本，一旦你的样本数多，拟合的参数多，并且步长设置的也小了一点，那么算法会计算很久。于是现在也有其他的算法用于计算类似的问题，各位小伙伴有兴趣也可以了解一下。

3 小结

这一篇介绍了逻辑回归背后的数学原理，篇幅比较长，可能读起来会比较久，因为大多是公式和原理，所以需要慢慢看，仔细理解。当然，里面还是省略了一些更为仔细的推导部分，主要是导数（偏导数）推导方面的，但基本不会影响到理解这个算法的数学原理。另外，可能有些地方写得还不够透彻，或者写得还不够好，又或者是有出现错误的地方，请大家能多多包涵，多多指教，共同学习，共同进步！