高等数学学习笔记

设函数f(x)在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数$δ$，使得对于$$0<|x-x_0|<δ$$ 均有$$f(x)-A<ε$$

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Part 1: 极限

设函数f(x)在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数$δ$，使得对于$$0<|x-x_0|<δ$$ 均有$$f(x)-A<ε$$
那么常数A就叫做函数f(x)当时$x→x_0$的极限，记作

\[\lim_{x\to x_0}f(x) = A
\]

夹逼定理

在求函数$f(x)$的极限时，可以通过两个函数夹它

举例：$\lim_{x\to 0}\frac{sum(x)}x = 1$

易知$sin(x) < x < tan(x)$, 得$cos(x) < \frac{sin(x)}x < 1$

因为$\displaystyle\lim_{x\to 0} cos(x) = 1,1=1$, 所以原式得证

Part 2: 导数

斜率：对于一次函数$y=kx+b$斜率即为k。
导数：通俗的说函数在一点的导数为在该处做切线，所得直线的斜率

\[\large{f\'(x_0)=\lim_{\delta x \to 0}}\frac{f(x_0+\delta x) – f(x_0)}{\delta x}
\]

也可记做$\frac{dy}{dx}$
将原函数y(x)每个点的导数全部算出后形成一个新的函数叫做原函数的导函数$y\'(x)$
高阶导记作 $f^{(n)}$

可导: 　从左侧与右侧趋近极限相同时才可定义导数

导数表：

导数与函数单调性

众所周知, 导数和函数单调性有着不可分割的关系

一阶导数描述增减, 一阶导等于零时, 原函数处于区间最值
二阶导数描述一阶导数增减, 描述原函数的凹凸性

导数公式

四则运算:

\[(u \pm v)\’ = u\’ \pm v\’\\(uv)\’= u\’v + v\’u\\(\frac uv)\’=\frac{(u\’v-v\’u)}{v^2}\\(C \cdot f(x))\’=C \cdot f\'(x) \\(f(g(x)))\’=f\'(g(x)) \cdot g\'(x)
\]

求导练习题

$(2x^2-3ln(x))\’ = 4x-\frac 3x$
$((x^2+1)(x +2))\’ = (x^2+1)(1)+(2x)(x+2)=3x^2+4x+1$
$(sin(3x+2))\’=sin\'(3x+2)(3x)=3x\cdot cos(3x+2)$

Part 3: 洛必达法则：

若$f(x)$和$g(x)$在a点处为零

\[\large{\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim_{x \to a}\frac{f\'(x)}{g\'(x)}}
\]

洛必达法则可以多次使用, 即多次求导

Part4: 自然对数e:

\[\large{e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac1n)^n=2.718281828459\cdots}
\]

奇妙的性质:

\[f(x) = e^x~~~f\'(x) = e^x\\f(x) =ln~x ~~~f\'(x)=\frac 1x
\]

Part5: 寻找方程的根: 牛顿迭代法

找方程的根首先我们可以随机两个点, 使用勘根定理, 如果$f(a)\cdot f(b) \leq 0$则在区间$[a, b]$内二分.

但是我们可能并不能很好的找到根所在的区间, 于是牛顿迭代法应运而生

牛顿迭代

求解方程$f(x)=0$, 随机一个初始点

对于当前点x，做切线(求导)，计算与x轴交点作为下一轮迭代的x
可得$x_{next}=x-\frac{f(x)}{f’(x)}$
$f(x)<eps$时终止，对于大部分函数有效(反例$y=\frac1x 或~y=\sqrt {|x|}$)

Part6: 定积分

定积分

求函数 $[a,b]$ 区间里的有向面积，在 x 轴上方为正，x 轴下方为负。
极限法：将区域切成无数细长条，每一长条用矩形面积 $f(x)*dx$ 近似 (update by senpai)

\[S = \int_a^bf(x)dx \\=\lim_{||\pi|| \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x_i
\]

例: 求定积分

\[\int_0^cx^2dx= \displaystyle \lim_{n \to \infty}x_k^2dx
\]

\[原式=\lim_{n \to \infty}(\frac{ck}n)^2(\frac cn)\\=\lim_{n \to \infty}(\frac{c^3}{n^3})\sum_{0 \leq k<n}k^2\\=\lim_{n \to \infty}\large{(\frac{c^3(2n^3-3n^2+n)}{6n^3})}\\=\frac {c^3}3
\]

一般形式:

\[\displaystyle \int_0^cx^ndx=\frac{c^{n+1}}{n+1}
\]

积分与微分

积分与微分可以感性的理解为升维与降维, 所以它们天生有着妙不可言的关系:

\[f\'(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{0 \leq k < n}f(x_k)\’dx\\=\lim_{n \to \infty}\sum_{0 \leq k < n}\large{\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{(x_{k+1}-x_k)}(x_{k+1}-x_k)}\\=\lim_{n \to \infty}\sum_{0 \leq k < n}f(x_{k+1})-f(x_k)\\=\lim_{n \to \infty}f(x_{n-1})-f(x_0)=f(b)-f(a)
\]

积分与无穷向量

对于一个函数$f(x)$可以理解为一个无穷维的向量，每个点的函数值是一个维度，那么两个函数$f(x)$和$g(x)$的内积就可以理解为$\int f(x)g(x)dx$

Part 7: 自适应Simpson积分法

前置:求二次函数区间内的有向面积;

见定积分基本内容

二次函数拟合积分法:

\[\int^b_af(x)dx \approx \frac{b-a}6(f(a)+4f(\frac{a+b}2)+f(b)
\]

可以使用自适应法控制精度问题

inline double simpson(double a, double b) {
    return (b - a) * (f(a) + f(b) + 4 * (f(((a+b)/2)))) / 6;
}

double eps = 1e-6;
double solve(double l, double r, double A, double eps) {
    double mid = (l + r) / 2;
    double L = simpson(l, mid), R = simpson(mid, r);
    if (fabs(L+R-A) <= 15 * eps) return L + R + (L+R-A) / 15.0;
    return solve(l, mid, L, eps / 2) + solve(mid, r, R, eps / 2);
}

应用: 在求解计算几何中的面积问题时

可以建立坐标系, 将面积化为一个函数, 求圆等圆滑的图形, 函数是平滑的, 但积分法无法解决一段函数全为零的情况, 所以提前判断有值的两端端点进行积分

Part8:函数最优化

二元函数

给定多元函数$f(x) \to R$, 求f(x)最小值

爬山法, 随机方向, 随机步长, 只向更优解走

如果函数存在导数, 有更好的方法, 如$f(x)=sin(x_1)cos(x_2)$

求偏导 :相当于定住其他变量, 求单一变量的导数

对于二元函数$f(x,y)$，在$(x_0,y_0)$处固定y不变切片移动x，可以得到一个单变量函数$g(x)$，同理固定x不变可以得到$h(y)$，可以定义某一个方向的导数
求导时只需将另一个变量当做常数即可。

偏导练习

$(x^2+1)(y+2)$
$\large{\frac{sin^2(\frac3y)+ln(cos ~xy)}{x^5e^y}}$

偏导数与梯度

梯度：$\delta f(x,y)= (\frac{\delta f}{\delta x}, \frac{\delta f}{\delta y})$
函数值上升最快的方向？

$f(x + dx, y + dy) \approx f(x, y) + \frac{\delta f}{\delta x}dx+\frac{\delta f}{\delta y}dy$
单位圆上寻找$(dx,dy)$使得其与梯度的内积最大
显然$(dx,dy)$与梯度共线时增长最快

无约束函数极值

给定多元函数$f(x)→R$，其中x是n维向量，寻找使得函数值最小的向量x*。

代入偏导数为0的极值条件解方程：$\delta f(x)=0$

如: 求$min f(x) = (x_1-x_2-2)^2+(x_2-1)^2$

\[\delta f(x) = \large\left(^{\frac{\delta f}{\delta x_1}}_{\frac{\delta f}{\delta x_2}}\right)= \left( ^{~~~~~~~~2(x_1-x_2-2)}_{-2(x_1-x_2-2)+2(x_2-1)}\right) = \left(^0_0\right)
\]

Part 9: 拉格朗日乘数法

设给定多元函数$ƒ(x)$和附加条件$\phi(x)=0$，x为向量，为寻找z=ƒ(x)在附加条件下的极值点，构造拉格朗日函数$L(x, \lambda)=f(x)+\lambda\phi(x)$

此时有：

\[\min_x=\min_x\{\max_{\lambda}L(x, \lambda)\}=\min_x\{\max_{\lambda}f(x)+\lambda\phi(x)\}
\]

f(x)为最优的必要条件是拉格朗日函数L梯度为0：

由上述方程组解出x，就是函数z=ƒ(x)在附加条件φ(x)=0下可能的极值点。

例：

求(x,y,z)使得$(x-4)^2+y^2+z^2$最小，并且$x+y+z=3, 2x+y+z=4$

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Part10: 泰勒展开

\[f(x) = a_0 + a_1(x – x_0) + a_2(x – x_0)^2 + a_3(x – x_0)^3 + …\\f(x) \approx f(0) + \frac{f\'(0)}{1!}x+\frac{f\’\'(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}x^n
\]

n 趋于正无穷时，将几乎完全拟合，注意有些函数无法完全拟合

证明:

\[f(x) – f(0) = \int_0^{x}f\'(x)dx\\f\'(x) – f\'(0)=\int_0^xf\’\'(x)dx\\f(x) = f(0) + \int_0^{x}f\'(x)dx\\= f(0) + \int_0^{x}\left(\int_0^xf\’\'(x)dx + f\'(0)\right)dx\\= f(0) + \int_0^{x}\int_0^xf\’\'(x)dx^2 + \int_0^xf\'(0)dx\\= f(0) + \int_0^{x}\int_0^xf\’\'(x)dx^2 + \frac{f\'(0)}{1!}x
\]

将二次导, 三次导等带入即可用数学归纳法证明

常见泰勒展开

欧拉公式: $e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$

可用泰勒展开证明

本文链接：https://www.cnblogs.com/Hs-black/p/12228919.html

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