分类数据

分类数据是对事物进行分类的结果，它虽然是用数值表示，但是数值仅仅反映对象的不同特征，其大小没有意义。分类数据的结果是频数，对其进行统计分析主要利用$\chi^2$分布。

$\chi^2$统计量

$\chi^2$统计量可用于测定2个分类变量之间的相关程度。用$f_o$表示观察值频数，$f_e$表示期望值频数，则

$$\chi^2=\sum \frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$$

利用$\chi^2$统计量，可以对分类数据进行拟合优度检验和独立性检验。

拟合优度检验

拟合优度检验(goodness of fit test)：

依据总体分布，计算出各类别的期望频数，与观察频数进行对比，判断两者是否有显著差异，从而对分类变量进行分析。

原假设和备择假设

$H_0$：观察频数与期望频数一致

$H_1$：观察频数与期望频数不一致

检验统计量

$$\chi^2=\sum \frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$$

自由度为$df=R-1$，R为分类变量的类型的个数。

在假设检验中，我们在二项分布总体、大样本情况下，对总体比例采用z检验：

$$z=\frac{p-\pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$$

对于总体比例，同样可以使用拟合优度检验（比例可视为2个类别的分类变量）。z检验只能针对二项分布问题，而$\chi^2$检验既可以分析二项分布，也可以分析多项分布（对总体的多个比例的假设进行检验）。

列联分析：独立性检验

拟合优度检验是针对一个分类变量的检验，对于两个分类变量，我们会关心它们是否有关联，称为独立性检验，通过列联表的方式呈现。

列联表

列联表是由2个以上的变量交叉分类的频数分布表。将行变量视为R（3类），列变量视为C（3类），可以把每一个列联表称为R×C列联表。下表为3×3列联表：

独立性检验

分析列联表中行变量和列变量是否独立。

原假设和备择假设

$H_0$：不存在依赖关系

$H_1$：存在依赖关系

计算个单元期望频数值

$$f_e=\frac{RT}{n}\times \frac{CT}{n} \times n=\frac{RT \times CT}{n}$$

其中$f_e$是给定单元中的期望频数，$RT$是单元所在行的合计，$CT$是单元所在列的合计，$n$是样本量。

自由度为$df=(R-1)(C-1)$。

由于$\chi^2>\chi^2_{0.05}(4)=9.488$，故拒绝$H_0$，接受$H_1$，地区与等级之间存在依赖关系。

列联表中的相关性测量：品质数据的相关系数

$\chi^2$分布可以检验两个分类变量的独立性，如果它们不独立，则相关程度有多大？相关系数表示两个变量之间的相关程度，列联表中的变量是分类变量，它们之间的相关叫做品质相关。常用的品质相关系数有$\varphi $系数、$c$系数、$V$系数。

$\varphi $相关系数

描述2×2列联表数据相关程度，计算公式为

$$\varphi =\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}$$

每个单元的期望频数为：

$$e_{11}=\frac{(a+b)(a+c)}{n}$$

$$e_{21}=\frac{(a+c)(c+d)}{n}$$

$$e_{12}=\frac{(a+b)(b+d)}{n}$$

$$e_{22}=\frac{(b+d)(c+d)}{n}$$

$\chi^2$值为：

$$\chi^2=\frac{a-e_{11}}{e_{11}}+\frac{b-e_{12}}{e_{12}}+\frac{c-e_{21}}{e_{21}}+\frac{d-e_{22}}{e_{22}}=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$

则

$$\varphi =\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}=\frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}$$

当ad=bc时，$\varphi$=0，2个变量独立；

当b=0，c=0时，$\varphi$=1，2个变量完全相关；

当a=0，d=0时，$\varphi$=-1，2个变量完全相关；

因此，对于2×2列联表，$\varphi $系数的取值在0~1之间，绝对值越大，相关程度越高。

对于R或C大于2的列联表，$\varphi $值无上限。

列联相关系数

又称c系数，主要用于大于2×2列联表的情况，计算公式为：

$$c=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}$$

当2个变量相互独立时，c=0；其最大值小于1，且随着R和C的增大而增大。它对总体的分布没有任何要求，但只有2个列联表的行数列数一致时，用c系数进行比较才有意义。

V相关系数

$$V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n\times min[(R-1),(C-1)]}}$$

当两个变量相互独立时，V=0；

当两个变量完全相关时，V=1。

列联分析中应注意的问题

条件百分表的方向

一般把$X$（自变量）作为列向量，把$Y$（因变量）作为行向量，便于更好地表现原因对于结果的影响。

$\chi^2$分布的期望值准则

用$\chi^2$分布进行独立性检验，要求样本量必须足够大。关于每个单元的频数，有2条准则：

1. 如果只有2个单元，则每个单元的期望频数$f_e$必须大于或等于5；

2. 如果有2个以上单元，则要求20%的单元期望频数$f_e$大于或等于5。

期望频数$f_e$过小，$\frac{(f_o-f_e)^2}{f_e}$会不适当地增大，造成对$\chi^2$的高估，导致不适当地拒绝$H_0$。将较小的$f_e$合并，可得到合理的结论。