变截距面板数据模型

变截距面板数据模型理论介绍

混合效应模型

背景思想

回归公式可以忽略个体与时间变化的差异，因此所有的数据特征可以通过一个公式进行刻画。进行数据的大杂烩、乱炖。为什么采取这么直接粗暴的方式呢？因为每个品种的菜(个体与时间维度)都很少，每一个品种的菜都不能够做出完整一盘菜，只能将所有的菜杂七杂八的混合起来乱炖。乱炖虽说精度不高，可是总比没法处理要好很多。

模型假定

1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)；
3. \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);

公式：

\(Y_{it}=\alpha + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)

估计方法展示

数据结构展示：

估计方法：

这个模型是将所有的数据\((y,x_1,x_2,x_3,x_4)\)，直接导入公式\(Y_{it}=\alpha + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)进行回归，只能求出一组\((\beta_{1},\beta_{2},..,\beta_{k})\’\)，意味着\(\beta\)在不同个体、不同时点上都是同一组，它不会因为时间或个体而发生变动。

固定效应模型

背景思想

当你拥有蔬菜的品种足够多，你就可以依据他们的味道单独做一些小炒菜。有一些影响因素A随着一些条件的改变而改变，但是这个因素A并未通过\(X\)观测变量纳入模型，比如说我们研究消费函数，\(C = \alpha + \beta Y + \varepsilon\), 这里的\(\alpha\)叫做自发消费，这个自发性消费是可能和个人特征、所处的社会文化、教育等未观测变量有关，换句话说，截距项 \(\alpha\) 和个体某些未观测到的特质有关，而不和\(Y\)有关。\(\alpha\)和\(\varepsilon\)都是代表了不可观测因素的影响，前者的影响因素是有趋势的(常数也是一种趋势)，后者的影响因素是无趋势的。更简单的理解就是，\(\alpha\)存在的意义就是为了使\(\varepsilon\)拥有零均值。

• 当这个截距项与个体特征相关时，我们称为个体固定效应模型。
• 当这个截距项与时间特征有关时，我们称为时间固定效应模型。
• 同理，和A潜在变量有关，我们就可以称它为A的固定效应模型。
• 当这个截距项与个体特征和时间特征都相关时，我们称为双固定效应模型。
• 同理，也可以同时依据三种或三种以上的变量进行分类，回归得出它们影响的截距项的估计值。

个体固定效应模型

模型假设

1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)；
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4. \(\alpha_i 与X_{it}相关\)
5. \(E(\alpha_i)=0\)

模型公式

\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)

估计方法展示

数据结构如下：

1.组内（within）估计（离差估计）
离差估计就是剔除常数项，然后进行估计，首先明白我们的目标：分别计算\(a,b,c,d,e\)组内的截距和各自的组内\(\beta\) .其实，不需要离差就可以回归。将a,b,c,d,e组的数据分别带入\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)，就可以得到结果。

• 离差方差推导
  原方程：
  \(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
  求均值方程：
  \(\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i + \bar X_{i}\’ \beta + \bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
  离差变换（原方程减均值方程）：
  \(Y_{it}-\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i -(\alpha_0 +\alpha_i)+ X_{it}\’ \beta – \bar X_{i}\’ \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i}= X_{it}\’ \beta – \bar X_{i}\’ \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
  \(\bar Y_i= \frac{1}{T}\displaystyle\sum_{t=1}^T(Y_{it})\)
  \(\bar X_i= \frac{1}{T}\displaystyle\sum_{t=1}^T(X_{it})\)

• 带入离差数据求解,文字描述
  通过\((y,x_1,x_2,x_3,x_4)\)计算组内时间上的均值\(\bar{(y,x_1,x_2,x_3,x_4)}\)，然后计算离差\((y,x_1,x_2,x_3,x_4)- \bar{(y,x_1,x_2,x_3,x_4)}\),带入离差方程\(Y_{it}-\bar Y_{i}= X_{it}\’ \beta – \bar X_{i}\’ \beta+ \varepsilon_{it}-\bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)进行估计。

• 利用估计出的\(\beta\)带入均值方程\(\bar Y_{i}=\alpha_0 +\alpha_i + \bar X_{i}\’ \beta + \bar \varepsilon_{i},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)，求解组内的(\(\alpha_0 +\alpha_i\))

• 通过上一步\(N\)个组的(\(\alpha_0 +\alpha_i\))，求解\(\alpha_0 = \frac{1}{N}\displaystyle\sum_{t=1}^N(\alpha_0 +\alpha_i)\),依据假设5：\(E(\alpha_i)=0\)

• 再求解\(\alpha_i = (\alpha_0 +\alpha_i) – \alpha_0\)

2.一阶差分估计
原理： 因为\(\alpha_0 +\alpha_i\)是不受时间影响的，所以我们可以使用差分方法消去常数项

• 差分方程推导
  原方程：
  \(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
  上一期方程：
  \(Y_{i,t-1}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{i,t-1}\’ \beta + \varepsilon_{i,t-1},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
  原方程减上一期方程：
  \(Y_{it}-Y_{i,t-1}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it}-\alpha_0 – \alpha_i – X_{i,t-1}\’ \beta – \varepsilon_{i.t-1} = X_{it}\’ \beta -X_{i,t-1}\’ \beta + \varepsilon_{it}- \varepsilon_{i,t-1}\)
• 数据代入求解即可。
• 此方法无法求解截距项。

3.LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将个体差异以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
\(Y = D \alpha+X\beta + \varepsilon\)
\(D=\begin{pmatrix}
D_1 & D_2&D_3&…&D_N
\end{pmatrix}\)
其中：
\(D_N=\begin{cases}
1 &\text{if } 为N组 \\
0 &\text{if } 不为N组
\end{cases}\)

时点固定效应模型

模型假设

1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4. \(\lambda_t 与X_{it}相关\)；

模型公式

\(Y_{it}=\lambda_0 +\lambda_t + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)

估计方法展示

数据结构如下：

LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将时间段以截距项形式的虚拟变量加入。
估计方程形式：
\(Y = D\lambda+X\beta + \varepsilon\)
\(D=\begin{pmatrix}
D_1 & D_2&D_3&…&D_T
\end{pmatrix}\)
其中：
\(D_T=\begin{cases}
1 &\text{if } 为T时期 \\
0 &\text{if } 不为T时期
\end{cases}\)

个体时点固定效应模型

模型假设

1 \(E(\varepsilon_{it})=0\);
2 \(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4 \(\lambda_t 与X_{it}相关\)；
5 \(\alpha_i 与X_{it}相关\)；
6 \(E(\alpha_i)=0\)；
7 \(E(\lambda_t)=0\)；

这里我们设定：
\(\tilde{\alpha}_i=\alpha_0+\alpha_i;\tilde{\lambda}_t=\lambda_0+\lambda_t\);
8 \(E(\tilde{\alpha}_i)=\alpha_0\);
9 \(E(\tilde{\lambda}_t)=\lambda_0\);

模型公式

\(Y_{it}=(\alpha_0 +\lambda_0)+\alpha_i +\lambda_t + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it}\)
\(=\alpha_0 +\alpha_i + \lambda_0 +\lambda_t + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it}\)
\(=\tilde{\alpha}_i+\tilde{\lambda}_t+X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)

估计方法

数据结构展示：

LSDV(最小二乘虚拟变量法)
学过计量的小伙伴们应该熟悉虚拟变量法，将时间段以截距项形式的虚拟变量加入。

• 估计方程形式：
  \(Y = D_{\lambda}\lambda + D_\alpha\alpha+X\beta + \varepsilon\)
  \(D_{\lambda}=\begin{pmatrix}
  D_1 & D_2&D_3&…&D_T
  \end{pmatrix}\)
  其中：
  \(D_T=\begin{cases}
  1 &\text{if } 为T时期 \\
  0 &\text{if } 不为T时期
  \end{cases}\)
  \(D_\alpha=\begin{pmatrix}
  D_1 & D_2&D_3&…&D_N
  \end{pmatrix}\)
  其中：
  \(D_N=\begin{cases}
  1 &\text{if } 为N组 \\
  0 &\text{if } 不为N组
  \end{cases}\)

• 也可以将时间与个体效应混合
  \(Y = Dh + X\beta + \varepsilon\)
  \(D=\begin{pmatrix}
  D_1 & D_2&D_3&…&D_{N*T}
  \end{pmatrix}\)
  其中：
  \(D=\begin{cases}
  1 &\text{if } 为第N个体的T时期 \\
  0 &\text{if } 不为第N个体的T时期
  \end{cases}\)

个体时点双固定效应，控制区域、行业等模型

模型假设

1 \(E(\varepsilon_{it})=0\);
2 \(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4 \(\lambda_t 与X_{it}相关\)；
5 \(\alpha_i 与X_{it}相关\)；
6 \(E(\alpha_i)=0\)；
7 \(E(\lambda_t)=0\)；

这里我们设定：
\(\tilde{\alpha}_i=\alpha_0+\alpha_i;\tilde{\lambda}_t=\lambda_0+\lambda_t\);
8 \(E(\tilde{\alpha}_i)=\alpha_0\);
9 \(E(\tilde{\lambda}_t)=\lambda_0\);

模型公式

\(Y_{it}=\tilde{\alpha}_i+\tilde{\lambda}_t+D_{type}\gamma+X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},
i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)

这个方程为了方便理解而设定，其中\(\tilde{\alpha}_i与D_{type}\)存在共线性问题，毕竟类型属性也是个体特征的一部分嘛！

估计方法展示

数据展示

估计方法：同上，将类型变量按照虚拟变量加入方程即可。

随机效应模型

背景思想：每组估计值的截距项的变动不与X的特征有关。

个体随机效应

模型假设

1.\(E(\varepsilon_{it})=0\);
2.\(var(\sigma_\varepsilon)为常数\)；
3 \(\varepsilon_{it}与X_{it}不相关\);
4. \(\alpha_i 与X_{it},\varepsilon_{it}不相关\);
5. \(\alpha_i \thicksim i.i.d(0,\sigma_\alpha^2)\);

公式：

\(Y_{it}=\alpha_0 +\alpha_i + X_{it}\’ \beta + \varepsilon_{it},i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
\(=\alpha_0 + X_{it}\’ \beta +(\alpha_i+ \varepsilon_{it}),i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)
\(=\alpha_0 + X_{it}\’ \beta + v_{it}, v_{it}=\alpha_i + \varepsilon_{it}, i = 1,2,3,…,N;t=1,2,3,…,T\)

根据\(v_{it}=\alpha_i + \varepsilon_{it}\)；\(\alpha_i \thicksim i.i.d(0,\sigma_\alpha^2)\);\(\alpha_i 与X_{it},\varepsilon_{it}不相关\);\(var(\varepsilon)=\sigma_\varepsilon为常数\)
推导：
\(cov(v_{it},v_{is})=cov(\alpha_i + \varepsilon_{it},\alpha_i + \varepsilon_{is})=cov(\alpha_i ,\alpha_i + \varepsilon_{is})+cov(\varepsilon_{it},\alpha_i + \varepsilon_{is})=cov(\alpha_i ,\alpha_i )+cov(\alpha_i ,\varepsilon_{is})+cov(\varepsilon_{it},\alpha_i )+ cov(\varepsilon_{it},\ \varepsilon_{is}) =\begin{cases}
\sigma_\alpha^2 &\text{if } t \neq s \\
\sigma_\alpha^2 + \sigma_\varepsilon &\text{if } t=s
\end{cases}\)
所以不满足古典假定，存在异方差与自相关问题。

估计方法展示

• 可行的广义最小二乘法(FGLS)

模型设定检验

F检验（chow\’s test）

原假设：混合回归模型
备择假设：其他模型

以个体固定效应模型为例：\(Y_{it}=u_i+X_{it}\’\beta+ \varepsilon_{it}\)

原假设：\(u_1=u_2=…=u_N\) （存在约束，截距不会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}\’\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的\(RSS_r\)
备择假设：\(u_1，u_2，…，u_N不全相等\) （无约束，截距会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}\’\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的\(RSS_u\)

F统计量构造：
\(F=\cfrac{(RSS_r-RSS_u)/[(NT-k-1)-(NT-k-N)]}{RSS_u/(NT-k-N)} \thicksim F(N-1,NT-k-N)\)

LR检验

原假设：混合回归模型
备择假设：其他模型

以个体固定效应模型为例：\(Y_{it}=u_i+X_{it}\’\beta+ \varepsilon_{it}\)

原假设：\(u_1=u_2=…=u_N\) （存在约束，截距不会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}\’\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的最大似然函数值的对数\(ln(L_r)\)
备择假设：\(u_1，u_2，…，u_N不全相等\) （无约束，截距会变）
\(Y_{it}=u_i+X_{it}\’\beta+ \varepsilon_{it}\)
计算回归的最大似然函数值的对数\(ln(L_u)\)

LR统计量构造：
\(LR=-2(lnL_r-lnL_u)渐近服从\chi^2(约束条件的个数: N-1)\)

豪斯曼检验（Hauseman\’s test）

原假设：个体随机效应模型(个体效应与回归变量无关)
备择假设：个体固定效应模型(个体效应与回归变量有关)

检验的原理：
利用组内估计(within)，无论是随机效应模型的参数估计值还是固定效应模型的参数估计值，估计参数值都是一致的
利用广义最小二乘法，对随机效应模型的参数估计值是一致的，对于随机效应模型的参数估计值是不一致的

检验逻辑图：

变截距面板数据模型建模步骤