OpenGL超级宝典笔记——贝塞尔曲线和曲面（转）
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参数方程表现形式
在中学的时候，我们都学习过直线的参数方程：y = kx + b;其中k表示斜率，b表示截距（即与y轴的交点坐标）。类似地，我们也可以用一个参数方程来表示一条曲线。1962年，法国工程师贝塞尔发明了贝塞尔曲线方程。关于贝塞尔曲线的详细介绍可以参考（维基贝塞尔）。这里只介绍OpenGL实现贝塞尔的函数。
OpenGl定义一条曲线时，也把它定义为一个曲线方程。我们把这条曲线的参数成为u,它的值域就是曲线的定义域。曲面则需要u和v两个参数来描述。注意，u和v参数只表示了描述曲线的参数方程的范围，它们并没有反映实际的坐标值。其坐标可以表示为:
x = f(u); y = g(u); z = h(u);
如下图：
控制点
贝塞尔曲线的形状由控制点来控制。贝塞尔曲线的控制点个数为曲线的阶。根据控制点的个数，贝塞尔曲线又分为二次贝塞尔曲线，三次贝塞尔曲线，高阶贝塞尔曲线。
线性曲线
线性贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]
二次方曲线
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：
-
由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
-
由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
-
由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。
二次贝塞尔曲线的结构
二次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]
三次方曲线
为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构：
三次贝塞尔曲线的结构
三次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]
连续性
两段曲线是否相连接，代表这两段曲线是否连续的。曲线的连续性分为4种，无连续，点连续，正切连续，曲率连续。下图分别表示了这几种情况：
其中曲率连续的曲线过渡的更平滑。我们可以通过参数来设置曲线的连续性。
求值器
OpenGL提供了一些函数来绘制贝塞尔曲线和曲面。我们只需要提供控制点和u,v作为参数，然后调用求值函数来绘制曲线。
2D曲线的例子：
//控制点 GLint numOfPoints = 4; static GLfloat controlPoints[4][3] = {{-4.0f, 0.0f, 0.0f},
{-6.0f, 4.0f, 0.0f},
{6.0f, -4.0f, 0.0f},
{4.0f, 0.0f, 0.0f}}; void SetupRC()
{
glClearColor(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
glColor3f(1.0f, 0.0f, 1.0f);
}
//画控制点
void DrawPoints()
{
glPointSize(2.5f);
glBegin(GL_POINTS); for (int i = 0; i < numOfPoints; ++i)
{
glVertex3fv(controlPoints[i]);
}
glEnd();
}
void ChangeSize(GLsizei w, GLsizei h)
{
if (h == 0)
{
h = 1;
}
glViewport(0, 0, w, h);
//使用正交投影
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(-10.0f, 10.0f, -10.0f, 10.0f);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
}
void RenderScene()
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
//设置贝塞尔曲线，这个函数其实只需要调用一次，可以放在SetupRC中设置
glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, //生成的数据类型
0.0f, //u值的下界
100.0f, //u值的上界
3, //顶点在数据中的间隔，x,y,z所以间隔是3
numOfPoints, //u方向上的阶，即控制点的个数
&controlPoints[0][0] //指向控制点数据的指针 );
//必须在绘制顶点之前开启
glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);
//使用画线的方式来连接点
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 0; i <= 100; i++)
{
glEvalCoord1f((GLfloat)i);
}
glEnd();
DrawPoints();
glutSwapBuffers();
}
在RenderScene函数中调用glMap1f来为曲线创建映射。第一个参数为GL_MAP1_VERTEX3，设置求值器产生顶点为三元组(x,y,z).还可以设置为产生纹理坐标和颜色信息。参考glMap1.后面的两个参数设定了u的取值范围[0,100]，第四个参数指定了顶点在数组中的间隔，由于顶点是由3个浮点数组成，所以间隔是3.第五个参数指定了控制点的个数，最后一个参数是控制点数组。然后我们需要启用求值器，调用如下：
glEnable(GL_MAP1_VERTEX3);
glEvalCoord1f函数，接受一个参数为曲线的参数值。调用这个函数会通过求值函数求出顶点坐标值，然后内部调用了glVertex。这里使用连线的方式来连接这些顶点：
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for(i = 0; I <= 100; i++)
{
glEvalCoord1f((GLfloat)i);
}
glEnd();
计算曲线
OpenGl还提供了更简单的方式来完成上面的任务。我们可以通过glMapGrid函数来设置一个网格，来告诉OpenGL在u的值域的范围内创建一个包含各个点的空间对称的网格。然后，我们调用glEvalMesh，使用指定的图元(GL_LINE或GL_POINTS)来链接各个点。
我们用下面的两个函数调用
glMapGrid1f(100, 0.0f, 100.0f); glEvalMesh1(GL_LINE, 0, 100);
可以替换下面的代码
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 0; i <= 100; i++)
{
glEvalCoord1f((GLfloat)i);
}
glEnd();
使用这种方式更为紧凑。
3D表面
创建一个贝塞尔曲面与创建一个贝塞尔曲线类似。除了给出u的定义域之外，还要给出v的定义域。下面的例子是创建一个贝塞尔曲面。与之前不同的是，我们沿着v的定义域定义了3组控制点。为了保持曲面的简单，这几组控制点只是z值不同。用这种方式画的曲面，看起来像是曲线沿z轴的扩展。
//控制点 GLint nNumPoints = 3;
GLfloat ctrlPoints[3][3][3]= {{{ -4.0f, 0.0f, 4.0f},
{ -2.0f, 4.0f, 4.0f},
{ 4.0f, 0.0f, 4.0f }},
{{ -4.0f, 0.0f, 0.0f},
{ -2.0f, 4.0f, 0.0f},
{ 4.0f, 0.0f, 0.0f }},
{{ -4.0f, 0.0f, -4.0f},
{ -2.0f, 4.0f, -4.0f},
{ 4.0f, 0.0f, -4.0f }}}; //画控制点 void DrawPoints(void)
{ int i,j;
glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f); //把点放大一点，看得更清楚 glPointSize(5.0f);
glBegin(GL_POINTS);
for(i = 0; i < nNumPoints; i++)
for(j = 0; j < 3; j++)
glVertex3fv(ctrlPoints[i][j]);
glEnd();
}
void RenderScene(void)
{
// Clear the window with current clearing color
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
// 保存模型视图矩阵
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glPushMatrix();
//旋转一定的角度方便观察
glRotatef(45.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f);
glRotatef(60.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);
glColor3f(0.0f, 0.0f, 1.0f); //设置映射方式，只需要设置一次可以在SetupRC中调用。
glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, //生成的数据类型
0.0f, // u的下界
10.0f, //u的上界
3, //数据中点的间隔
3, //u方向上的阶
0.0f, //v的下界
10.0f, //v的上界
9, // 控制点之间的间隔
3, // v方向上的阶
&ctrlPoints[0][0][0]); //控制点数组
//启用求值器
glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
//从0到10映射一个包含10个点的网格
glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);
// 计算网格
glEvalMesh2(GL_LINE,0,10,0,10);
//画控制点
DrawPoints();
glPopMatrix();
glutSwapBuffers();
}
在这里我们用glMap2f替换了之前的glMap1f, 这个函数指定了u和v两个域上的点。除了指定u的上界和下界之外，还要指定v的上界和下界。v定义域内点的距离是9，因为这里使用了3维数组，包含了3个u值，每个u值又包含了3个点，3×3=9。然后指定v方向上的阶，即每个u分支上v方向有多少个点。最后一个参数是指向控制点的指针。
然后我们设置求值器.
//启用求值器
glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);
//从0到10映射一个包含10个点的网格
glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);
计算网格网格表面，用线的方式表示。
// 计算网格
glEvalMesh2(GL_LINE,0,10,0,10);
光照和法线
求值器还可以帮我们生成表面的法线，只需简单的修改一些代码：
把glEvalMesh2(GL_LINE, 0, 10, 0, 10);替换为glEvalMesh2(GL_FILL, 0, 10, 0, 10);然后在初始化时 SetupRC中调用glEnable(GL_AUTO_NORMAL);就可以得到一个收到光照的曲面了。
