曲线曲面
一、
计算机图形学三大块内容：光栅图形显示、几何造型技术、真实感图形显示。
光栅图形学是图形学的基础，有大量的思想和算法。
几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术
描述物体的三维模型有三种：
1>线框模型：用顶点和棱边来表示物体
2>曲面模型：只描述物体的表面和表面的连接关系，不描述物体内部的点的属性
3>实体模型：不但有物体的外观而且也有物体内点的描述
二、曲线曲面基础
1、显式、隐式和参数表示
曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显示表示和隐式表示。
对于一个平面曲线，
显示表示一般形式是：y=f(x),在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显示方程不能表示封闭或多值曲线。
隐示表示一般形式是：f(x,y)=0,优点是易于判断一个点是否在直线上
2、显式或隐式存在的问题
1>与坐标轴相关，都有x,y
2>用隐函数表示不直观，作图不方便
3>会出现斜率无穷大的情况
3、参数方程
为了克服以上问题，曲线方程通常表示成参数的形式，用t表示参数,t在（0,1）之间
二维：P(t)=[x(t),y(t)]
三维：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]
曲面方程：
4、参数方程
在曲线和曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性
1>可以满足几何不变形的要求
即指形状的数学表示及其所表达的形状不随坐标系而改变（因为跟x,y无关，而跟t有关）
2>有更大的自由度来控制曲线和曲面的形状
3>直接对参数方程进行几何变换
只对t变换即可
4>便于处理斜率无穷大的情况，不会因此中断
5、参数曲线的基本概念
1>位置矢量
曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]。
2>切矢量
3>曲率
曲线的弯曲程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大；曲率的倒数称为曲率半径
4>法矢量
5>挠率：扭曲程度
6>插值：给定的样本点，曲线叫插值曲线
7>拟合
构造一条曲线最接近给定的数据点（但未必全部通过这些点），所构造的曲线称为拟合曲线
8>光顺
指曲线的拐点不能太多
9>参数化
10、参数曲线的代数和几何形式
7.5 Bezier曲线与曲面
有a向量构成的多边形称为特征多边形，f为基函数
改进：
B为伯恩斯坦基函数（二项式定理）
（1）一次Bezier曲线
把i=0,1,n=1带进去
（2）二次Bezier曲线
（3）三次Bezier曲线
二、基函数的性质
1>正性
2、权性
基函数有n+1项，n+1个基函数的和加起来正好等于1
3、端点性质
4、对称性
多边形的顶点位置不变，次序颠倒，曲线不变，只是走向变了
5、递推性
6、导函数
7、最大值
8、积分
三、Bezier曲线的性质
1>端点性质
顶点P0和Pn分为位于曲线段的起点和终点上，其他点可以不经过
2>一阶导数
曲线上起点和终点处的切线方向的特征多边形第一条边和最后一条变的走向一致
3>几何不变性
几何特性不随坐标变换而变换，只与特征多边形各顶点的相对位置有关