怎样理解控制系统中的带宽

0. 写在前面

在控制系统的稳定性与动态特性分析中，总少不了“带宽”这个量，本文尝试从带宽的定义，对系统动态特性的影响及其与系统稳定性之间的相关关系进行介绍。由于作者非控制专业科班，在表述中可能出现不专业的名词，如有错误还请指出便于改正。

1. 带宽的定义

“带宽”是一个非常宽泛的概念，在通信，控制以及信号处理中都常出现。而本文针对控制系统中带宽相关内容进行讨论，希望为读者提供一个理解带宽概念的参考内容。

从宏观的角度上来说，在线性定常系统（LTI）中，假定一个单输入单输出系统，对任意输入的激励，必然有相对应的输出响应。从频域的角度来说，如果我们知道激励信号从0 Hz开始到\(\infty\)时，系统输出的响应，那么我们就得到了该系统的频域特性，可以据此描绘输出与输入信号的幅值与相角之间的关系也即可以用Bode图来表示该系统的特性。

而对于控制系统而言，跟随给定，抵抗扰动就是其目标。通常以系统某个或多个变量的反馈形成闭环来实现该目标。在这个过程中，就有了所谓“开环传递函数”与“闭环传递函数”两个概念。这里的开环传递函数为\(G(s)H(s)\)，而闭环传递函数为\(G(s)/(1+G(s)H(s))\)。对于开环传递函数，一般以开环截止频率（开环幅频特性曲线穿越0 dB线的频率，常记为\(\omega_{c}\)）描述其特性，而闭环传递函数以闭环带宽（闭环幅频特性中幅值相比0 Hz频率下降3 dB的频率，常记为\(\omega_{b}\)）分析其特性。当然，这里闭环带宽为什么以幅值下降3 dB作为度量，这时其幅值为原信号的\(\sqrt{2}/2\)，从能量上衰减了1/2，可能这就是原因。

虽然开环截止频率与闭环截止频率（闭环带宽）是两个不同的物理量，但在控制系统分析中，常采用开环传函分析闭环特性，因此二者实际存在一定的相关关系。开环截止频率与单位负反馈的闭环带宽具有同向性，也就是二者是同向增大的，并且有\(\omega_{b}>\omega_{c}\)。

以一个二阶开环系统\(G_{ol}\)为例进行分析，其单位负反馈闭环传递函数为\(G_{cl}\)，传递函数示例为：

\[\begin{aligned}
& G_{ol}(s)=\cfrac{\omega_{n}^2}{s(s+2\zeta \omega_{n})} \\
& G_{cl}(s)=\cfrac{\omega_{n}^2}{s^2+2\zeta \omega_{n}+\omega_{n}^2}
\end{aligned}
\]

对于该典型系统的开环截止频率和闭环带宽的计算，可以求解满足下式的频率：

\[|G_{ol}(j\omega)|=|\cfrac{\omega_{n}^2}{(j\omega)(j\omega+2 \zeta \omega_{n})}|=1 \\|G_{cl}(j\omega)|=|\cfrac{\omega_{n}^2}{-\omega^2+2\zeta \omega_{n}j\omega+\omega_{n}^2}|=\cfrac{\sqrt{2}}{2}
\]

求解结果为：

\[\begin{aligned}& \omega_{c}=\omega_{n}\sqrt{(\sqrt{4\zeta^4+1}-2\zeta^2)} \\&\omega_{b}=\omega_{n}\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}\end{aligned}
\]

给出闭环带宽与开环截止频率比值随\(\zeta\)变化的曲线为：

很明显，在\(\zeta\)从0.2变化到1.4的过程中，闭环带宽始终大于开环截止频率。

下面通过一个示例进一步说明。

\[\begin{aligned}& \omega_{n}=3000; \\&\zeta=0.707;\end{aligned}
\]

画出其bode图为

从闭环特性曲线上可以看到，对于该系统，在频率小于闭环带宽\(\omega_{b}\)的时候，幅频曲线的幅值为0 dB，也就是增益为，由此知道参考信号通过该系统后幅值将不会发生变化。而相频特性曲线中，随着频率的增加相角不断下降，也就是对应频率的信号会有滞后的效应。

2. 带宽对系统动态特性的影响

根据前节的内容，在闭环系统带宽频率内，输出信号可以很好的跟随输出信号，而当输入信号频率超出带宽频率后，其幅值将会被衰减。

我们以如下信号作为输入：

\[f(t)=sin(1500t)+sin(30000t)
\]

经过闭环系统后，输出信号如图中蓝色曲线所示。可以很明显的看出，输出信号中，主要分量为\(sin(1500t)\)对应的频率，并且由一定的相位移，而\(sin(30000t)\)对应的信号基本已经被衰减，分量大大减小。

由此我们可以验证前节的结论，闭环带宽频率内的信号可以很好地跟随，但可能存在相位移，而带宽外的信号将会被衰减。上面的例子是针对两个信号叠加的情况，当输入信号为阶跃时，输出响应又会如何。实际上，对于阶跃信号，在频域内各个频率均有分量，且其幅值随着频率的增加而下降。这时，阶跃响应可以体现系统对给定信号的跟随特性。

在我们改变闭环系统\(G_{cl}\)的\(\omega_{n}\)后，系统的阶跃响应如图所示：

从图中可以看到，随着\(\omega_{n}\)的增加，系统的阶跃响应输出就越快达到稳定。对于二阶系统而言，\(\omega_{n}\)越大则系统闭环带宽越大。因此，还可以初步得到结论：带宽越大，能够复现的输入信号范围就越宽，系统响应速度就越快。

然而，系统带宽并非越高越好，控制系统在稳态情况下控制对象频率通常固定，而系统噪声不可避免，在带宽过大的情况下，系统对噪声的响应也比较明显，这会使输出中掺杂不需要的信号而影响系统的输出质量。因此，在控制系统的设计中，系统的动态特性与抗扰性能通常需要进行折中选择。

3. 闭环带宽与系统稳定性之间的关系

除了高频噪声与动态响应对带宽的折中限制以外，系统稳定性同样与闭环带宽之间有着一定的联系。通常利用开环传递函数分析闭环系统的稳定性。要保证闭环系统的稳定，要求开环传递函数具有一定的相角裕度与幅值裕度。

然而，在数字控制系统中，由于各种惯性环节以及纯延时环节的存在，相频曲线不断被拉低，系统开环传递函数的相频曲线可能存在对-180°线的穿越。那么要保证系统的稳定性，必须要求开环传递函数的幅频曲线在穿越-180°线时已经小于0。这就限制了开环截止频率的大小，由于开环截止频率与闭环带宽之间的正向相关性，闭环带宽从而受到限制。因此，综合动态响应，高频噪声以及系统稳定性等因素，要想满足期望的系统，常需要添加额外控制器对系统进行改造。

在基于PWM控制的应用场合，低开关频率下系统延时通常都较大，因此闭环带宽都较低。为了提高动态特性，通常可以利用相角超前的补偿器进行改造，可以使用的有非理想PD控制器，Smith预估补偿器，巴特worth滤波器等，在保证系统稳定性的前提下进行相角补偿，提高带宽。