【数字信号处理不挂科-笔记】第三讲-离散傅立叶变换 推荐：【数字信号处理不挂科-笔记】第一讲-离散时间信号与系统
常用公式：
x(n)的z变换为
x(n)的离散时间傅立叶正变换为
的离散傅立叶级数变换为
3.1傅立叶变换的四种形式
3.1.1.连续时间函数的傅立叶变换
时间是连续的，非周期的：■连续时间函数的傅立叶变换/傅立叶变换（CFT/FT）
时间是连续的，周期的：■连续周期信号的傅立叶级数（CFS）
连续时间周期信号可以用一系列谐波分量的线性组合来表征。
展开式：稍后会有总结，别怕分不清
3.1.2.连续时间序列的傅立叶变换
■离散时间傅立叶变换（DTFT）
■离散傅立叶级数（DFS）
对有限长序列的DTFT进行频域采样，则该序列会在时域中周期延拓；则周期序列对应的频谱是离散且周期的，可以用一系列谐波分量的线性组合表征周期序列；
3.1.3.傅立叶变换的时、频域关系
■傅立叶变换的时、频域关系
傅里叶变换指的是时间信号和频谱函数之间的变换关系。
| 名称 |
时间函数 |
频率函数 |
|
傅里叶变换（FT/CFT） |
连续时间，非周期 |
非周期，连续频谱 |
| 连续周期信号的傅里叶级数（CFS） |
连续时间，周期 |
非周期，离散频谱 |
| 序列的连续时间傅里叶变换（DTFT） |
离散时间，非周期 |
周期，连续频谱 |
|
周期序列的离散傅里叶级数（DFS） |
离散时间，周期 | 周期，离散频谱 |
巧记：
| 非 | 连 |
| 周 | 离 |
非连周离 + 时域连续—>频域非周期；时域离散—>频域周期
3.2.周期序列的傅立叶变换DFS
因为是以N为周期延拓的，所以只要做一个周期内的级数变换就可以了
3.2.1.离散傅立叶级数DFS
■离散傅立叶级数（DFS）—定义式
■离散傅立叶级数（DFS）–旋转因子的定义
正对负
■离散傅立叶级数（DFS）–旋转因子的性质
虚字是推导
①里面取负，和外面取共轭正好抵消了
②可约性对FFT有帮助，W上面的i可以往下移动
③旋转因子有周期性
⑤e的jΠ=1，e的-jΠ=-1
3.2.2.变换间的关系
■DFS与z变换、DTFT的关系
②DFS对DTFT在2Π周期内做了一个N点的采样
③Z变换在单位圆上做变换，就是DTFT
DTFT在做一个等间隔采样，得到DFS
——>在单位圆做一个等间隔采样就能得到DFS
做一个周期序列N=8的例子
在单位圆做一个8点的等间隔采样就能得到DFSx~
等比数列求和公式：
，
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)，cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 ，又用到了欧拉公式
3.2.3.DFS的性质
DFS是周期离散序列的傅立叶变换，因此DFS具有一些可以类比CFT的性质。
■DFS 的性质–线性性质
注意必须要周期相等，才能线性组合
■DFS 的性质–移位性质
注意符号的正负
后面不写了，来不及复习了，刷原题去
版权声明：本文为guoxinyu原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。