勾股定理的一个证明

在学到圆那边的时候，我们会碰到一道经典的题目：

已知直角三角形的三边长分别为 \(a\)，\(b\)，\(c\)，其中 \(c\) 对应直角，求此三角形内切圆的半径。

常见的方法有两种：

  • 如图

    如果对三边按切点分割，有联立方程
\[x+y=a,\quad x+z=b,\quad y+z=c.
\]

解得 $$r=x=\frac{1}{2}(a+b-c).\qquad (1)$$

  • 如图

    借助面积的分割可得
\[\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}ab.
\]

即 $$r=\frac{ab}{a+b+c}.\qquad (2)$$

由于 \((1)\) 与 \((2)\) 相等，于是可得

\[\frac{1}{2}(a+b-c)=\frac{ab}{a+b+c}.
\]

化简即得勾股定理 $$a2+b2=c^2.$$

这个证明有几位老师看过，目前还没人说这里涉及了循环论证。

勾股定理的证明何其之多，我无意中发现的这个应该之前也被人发现了。不过我手头没有相关资料，不能查证。无论如何，这好歹是自己发现的“新”东西，这点很有安慰作用，我还是能弄点“新”东西出来的。希望自己再接再厉，将来能发现更有意思的东西。

2016.05补：这里见到一位网友小时候也给出了这个证明。

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