初等变换和阶梯矩阵【】
初等变换
- 行列式变换：面积不变。为了出现尽可能多的0，方便展开式。
- 矩阵初等变换：方程组同解。为了出现尽可能多的0，方便化简方程（高斯消元法）。
初等变换包括：
- 线性方程组的初等变换
- 行列式的初等变换
- 矩阵的初等变换
行列初等变换
行列式的性质
- 性质1：行列互换，行列式不变
- 性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式
- 性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等
- 性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0
- 性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变
- 性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号
行列式的初等变换
求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。
- 换行变换：交换两行（列）。
换法变换的行列式会变号；
- 倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。
倍法变换的行列式会变k倍；
- 消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。
消法变换的行列式不变。
矩阵的初等变换
- 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为rir_{i}，rjr_{j}）；
- 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为rir_{i}×k）；
- 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为rir_{i}+krjr_{j})。
类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。
矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。
阶梯矩阵
行阶梯型矩阵
- 每个阶梯只有一行；
- 元素不全为零的行（非零行）的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）；
- 元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面几行。
行阶梯型矩阵：
[10−1021003]，[012−1000100000000]\begin{bmatrix}
1& 0 &-1 \\
0& 2 &1 \\
0& 0 & 3
\end{bmatrix}，
\begin{bmatrix}
0& 1 & 2&-1 \\
0& 0 & 0 &1 \\
0& 0& 0 &0 \\
0& 0 &0 & 0
\end{bmatrix}
行最简阶梯型矩阵
- 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。
行最简阶梯型矩阵:
[100−1010−20012]\begin{bmatrix}
1& 0& 0&-1 \\
0&1& 0 &-2\\
0& 0& 1&2
\end{bmatrix}
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