今天的主角是指数分布，由此导出\(\Gamma\)分布，同样，读者应尝试一边阅读，一边独立推导出本文的结论。由于本系列为我独自完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！

Part 1：指数分布的参数估计

指数分布是单参数分布族，总体\(X\sim E(\lambda)\)有时也记作\(\mathrm{Exp}(\lambda)\)，此时的总体密度函数为

现寻找其充分统计量，样本联合密度函数为

由因子分解定理，取

可以得到\(\bar X\)是\(\lambda\)的充分统计量。但是指数分布的参数并非均值，而是均值的倒数，所以对\(\bar X\)也有

注意，千万不要想当然地认为期望和一般的函数之间是可交换的，即一般来说\(\mathbb{E}[f(X)]\ne f[\mathbb{E}(X)]\)，所以你不能认为\(\bar X^{-1}\)就是\(\lambda\)的无偏估计量。

每到此时，我就想举对数正态分布的例子：\(X\sim N(0,\sigma^2)\)，求\(e^{X}\)的期望。显然有

\[\begin{aligned}
\mathbb{E}(e^{X})&=\int_{-\infty}^\infty e^x\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{x^2-2\sigma^2x}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\
&=e^{\frac{\sigma^2}{2}}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{(x-\sigma^2)^2}{2\sigma^2} \right\}\mathrm{d}x\\
&=e^{\frac{\sigma^2}{2}}.
\end{aligned}
\]

最后一个等号处，积分是\(N(\sigma^2,\sigma^2)\)的密度函数全积分为1。这说明

\[\mathbb{E}(e^{X})=e^{\frac{\sigma^2}{2}}\ne 1=e^{\mathbb{E}(X)}.
\]

同样，也能告诉我们股票的波动率越大，期望收益也越大。

但是，用\(\bar X^{-1}\)总是有一定道理的，至少在量级上保持了跟待估参数的一致性。如果我们要进行无偏调整，则需要求出\(\bar X\)的具体密度。不妨设\(T=\sum_{j=1}^n X_j\)，则\(T=n\bar X\)，如果我们能求出\(T\)的分布，也一样能得出\(\bar X^{-1}\)的期望。

Part 2：独立同分布指数分布之和与\(\Gamma\)分布

为求\(T\)的分布，引入一个Jacobi行列式为1的线性变换：

则\((Y_{1},\cdots,Y_{n})\)的联合密度函数为

接下来要依次对\(y_1,\cdots,y_{n-1}\)作积分，为方便计，记

现在，\(y_1\)的积分范围是\((0,y_n-y_{n-1}-\cdots-y_2)=(0,\mathcal B_2)\)，即

再对\(y_2\)积分，其积分范围是\((0,\mathcal B_3)\)，即

继续下去的步骤就很机械了，对\(y_3\)积分时积分范围是\((0,\mathcal B_4)\)，所以

将这个过程一直进行下去，容易得到

进行最后一次积分就能得到\(T\)的密度函数为

这里有一个稍微有点耍赖的技巧。如果你不想一个个积分，而又记住了指数分布和的密度函数形式，则可以用数学归纳法验证指数分布和的密度函数恰有如此的形式。

读者可以自行用数学归纳法计算一遍，这个计算量是比较小的。

同样，我们以后会经常跟这个密度函数打交道。因为阶乘只适用于整数，将其解析延拓到\(\mathbb{R}^+\)上有\((n-1)!=\Gamma(n)\)，注意到其核为\(e^{-\lambda x}x^{n-1}\)，对于任意\(n>0,\lambda >0\)，有

所以其正则化因子为\(\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}\)。现在我们可以正式给出\(\Gamma\)分布的定义：称\(X\sim\Gamma(n,\lambda)\)，如果\(X\)具有如下的密度函数：

当\(n\)为整数时，\(\Gamma(n)=(n-1)!\)。同时，我们得到一个重要结论：若\(X_1,\cdots,X_n\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}\sim E(\lambda)\)，则

Tlst <- c()
for (i in 1:100000){
  Tlst[i] <- sum(rexp(5, 3))  # T为5个E(3)样本之和
}

plot(density(Tlst), main = "T的样本密度", col = "blue", xlim = c(0, 6))
xlst <- seq(0, 6, 0.00001)
ylst <- dgamma(xlst, 5, 3)
lines(xlst, ylst, col = "red")

由于\(\Gamma\)分布核函数的特点，其期望和方差也是容易求出的。现设\(X\sim \Gamma(n)\)，则

这说明\(n\)越大\(X\)的期望越大，\(\lambda\)越大\(X\)的期望越小，如果将其视为独立指数分布的和也能得到这个结论。

现在回到正题，计算指数分布均值倒数\(\bar X^{-1}\)的期望，先计算\(T^{-1}\)的期望，容易计算得到

因此自然有

因此，\(\bar X^{-1}\)只是\(\lambda\)的渐进无偏估计，可以对它经过无偏处理得到无偏估计：

下面进行\(\hat \lambda\)的有偏估计、无偏估计的模拟计算，从指数分布\(E(2)\)中抽样。为了体现出区别，图中的每一个点都是100个估计量的平均值。

rm(list = ls())
unbiased_estimator <- c()
biased_estimator <- c()
for (j in 1:100){
  meanlst <- c()
  for (i in 1:100){
    samples <- rexp(10, 2)  # 每次产生10个样本计算均值
    meanlst[i] <- 1/mean(samples)
  }
  biased_estimator[j] <- mean(meanlst)
  unbiased_estimator[j] <- 9/10*biased_estimator[j]
}

split.screen(c(1, 2))
screen(1)
plot(biased_estimator, main = "有偏估计", ylim = c(1.5, 2.5))
abline(h = 2, col = "blue")

screen(2)
plot(unbiased_estimator, main = "无偏估计", ylim = c(1.5, 2.5))
abline(h = 2, col = "blue")

Part 3：\(\Gamma\)分布与其他分布

\(\Gamma\)分布与许多分布具有紧密的联系（中心极限定理这种与正态分布的联系就不说了）。与指数分布的联系是显然的：\(\Gamma(1,\lambda)\)就是\(E(\lambda)\)，这点从上面的推导可以得出。

需要注意一点：指数分布的参数是其尺度参数。什么意思呢？对于\(X\sim E(\lambda)\)，它的分布函数是\(F(x)=1-e^{-\lambda x}\)，对其作伸缩变换\(aX\)，有

对比\(F(x)\)的形式，发现\(aX\sim E(\lambda /a)\)，这就代表伸缩变换不改变指数分布的性质，所以说指数分布的参数是其尺度参数。既然\(\Gamma\)分布是指数分布的直接推广，则\(\Gamma\)分布也具有这样的性质：若\(X\sim \Gamma(n,\lambda)\)，则

这样的变换不改变数量参数\(n\)，这也是指数分布中得到的直接推广结论。

还记得正态分布的衍生分布——\(\chi^2(n)\)分布吗？之前，因为卡方分布的密度函数过于复杂，不好记忆，所以我们跳过了，但了解过\(\Gamma\)分布的密度函数后再回看卡方分布，就会有一种熟悉感。

对于\(X\sim \chi^2(n)\)，其密度函数为

可以看到，它的核刚好是\(e^{-x}\)的某次方，乘以\(x\)的某次方形式，前面的正则化系数由核决定，因此，\(\chi^2(n)\)分布本质上也是\(\Gamma\)分布的一种特例，即

这样，再记忆\(\chi^2(n)\)分布的密度函数就会显得容易一些了。另外，如果\(2n\)是整数，也可以通过\(\Gamma\)分布的伸缩变换将其变成卡方分布：

最后，由于我们接下来要进入离散分布的参数估计，在这里也给出一个\(\Gamma\)分布与泊松分布的联系，这个联系在随机过程中会发挥一定的作用，其证明在数理统计中倒不是特别重要。

若\(N\)定义为满足下列条件的\(n\)值：\(X_1,X_2,\cdots\stackrel{\mathrm{i.i.d.}}\sim E(\lambda)\)，

则\(N\sim P(\lambda)\)。

下面给出这个定理的证明，其中的思想可以学习。

设\(\sum_{j=1}^k X_j\)的密度函数为\(p_k(x)\)，则由于\(\sum _{j=1}^k X_j\sim \Gamma(k,\lambda)\)，所以

\[p_k(x)=\frac{\lambda^k}{\Gamma(n)}x^{k-1}e^{-\lambda x}.
\]

由全概率公式（连续形式），

\[\begin{aligned}
&\quad \mathbb{P}(N=k)\\
&=\mathbb{P}\left(\sum_{j=1}^kX_i\le 1,\sum_{j=1}^{k+1}X_i>1 \right)\\
&=\int_0^1\mathbb{P}\left(\sum_{j=1}^{k+1} X_j>1\bigg|\sum_{j=1}^k X_i=x \right)p_k(x)\mathrm{d}x\\
&=\int_0^1\mathbb{P}(X_{k+1}>1-x)p_k(x)\mathbb{d}x\\
&=\int_0^1e^{-\lambda {(1-x)}}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}x^{k-1}e^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\
&=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-1)!}\int_0^1 x^{k-1}\mathrm{d}x\\
&=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.
\end{aligned}
\]

这是泊松分布的分布列，故\(N\sim P(\lambda)\)。

在上面两篇文章中，将连续分布的点估计进行了详细的讨论，并引出了次序统计量的分布，介绍了\(\Gamma\)分布与\(\beta\)分布。接下来，我们将转向离散型分布的参数点估计，看看离散形式下因子分解定理应当如何使用。