目的

求一个实对称矩阵的所有特征值和特征向量。

前置知识

对于一个实对称矩阵\(A\)，必存在对角阵\(D\)和正交阵\(U\)满足\[D=U^TAU\]\(D\)的对角线元素为\(A\)的特征值，\(U\)的列向量为\(A\)的特征向量。

定义\(n\)阶旋转矩阵\[G(p,q,\theta)=
\begin{bmatrix}
1 & & & & & \cdots& & & & & 0\\
&\ddots & & & & & & & & &\\
& &1 & & & & & & & &\\
& & &\cos\theta & & & &-\sin\theta & & &\\
& & & &1 & &0 & & & &\\
& & & & &\ddots & & & & &\\
& & & &0 & &1 & & & &\\
& & &\sin\theta & & & &\cos\theta & & &\\
& & & & & & & &1 & &\\
& & & & & & & & &\ddots &\\
0& & & & & & & &0 & &1
\end{bmatrix}\]

即在单位矩阵的基础上，修改\(a_{pp}=a_{qq}=\cos\theta,a_{qp}=-a_{pq}=\sin\theta\)

对于\(n\)阶向量\(\alpha\)，\(\alpha\cdot G(p,q,\theta)\)的几何意义是把\(\alpha\)在与第\(p\)维坐标轴和第\(q\)维坐标轴平行的平面内旋转角度\(\theta\)，并且旋转后的模长保持不变。

算法原理

大概思路使通过旋转变换使非对角线上的元素不断变小，最后得到与原矩阵相似的对角矩阵。

每次找到矩阵\(A\)绝对值最大的的非对角线元素，设为\(a_{pq}\)，令\(U=G(p,q,\theta)\)，将\(A\)变换为\(U^TAU\)

变换后的值为

通过令\(b_{p,q}=0\)解得\[\theta=\frac{1}{2}\arctan\frac{2a_{pq}}{a_{qq}-a_{pp}}\]特别地当\(a_{qq}=a_{pp}\)时\(\theta=\frac{\pi}{4}\)

注意到旋转操作并不会改变每个行向量或列向量的模长，即矩阵\(A\)的F-范数\(||A||_F=\sqrt{\sum_i\sum_ja_{ij}^2}\)是不变的，并且通过计算可以得出\[b_{ip}^2+b_{iq}^2=a_{ip}^2+a_{iq}^2\]从而可以得知非对角线元素的平方和变小，对角线上元素的平方和增大，故非主对角线上元素的平方和收敛。

算法流程

（1）令矩阵\(T=E\)，即初始化单位矩阵

（2）找到\(A\)中绝对值最大的非对角选元素\(a_{pq}\)

（3）找到对应的角度\(\theta\)，构造矩阵\(U=G(p,q,\theta)\)

（4）令\(A=U^TAU,T=TU\)

（5）不停地重复（2）到（4），直到\(a_{pq}<\epsilon\)或迭代次数超过某个限定值，则\(A\)的对角线元素近似等于\(A\)的特征值，\(T\)的列向量为\(A\)的特征向量

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1005;
const double eps=1e-5;
const int lim=100;

int n,id[N];
double key[N],mat[N][N],EigVal[N],EigVec[N][N],tmpEigVec[N][N];

bool cmpEigVal(int x,int y)
{
    return key[x]>key[y];
}

void Find_Eigen(int n,double (*a)[N],double *EigVal,double (*EigVec)[N])
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            EigVec[i][j]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) EigVec[i][i]=1.0;
    int count=0;
    while (1)
    {
        //统计迭代次数 
        count++;
        //找绝对值最大的元素 
        double mx_val=0;
        int row_id,col_id;
        for (int i=1;i<n;i++)
            for (int j=i+1;j<=n;j++)
                if (fabs(a[i][j])>mx_val) mx_val=fabs(a[i][j]),row_id=i,col_id=j;
        if (mx_val<eps||count>lim) break;
        //进行旋转变换 
        int p=row_id,q=col_id;
        double Apq=a[p][q],App=a[p][p],Aqq=a[q][q];
        double theta=0.5*atan2(-2.0*Apq,Aqq-App);
        double sint=sin(theta),cost=cos(theta); 
        double sin2t=sin(2.0*theta),cos2t=cos(2.0*theta);
        a[p][p]=App*cost*cost+Aqq*sint*sint+2.0*Apq*cost*sint;
        a[q][q]=App*sint*sint+Aqq*cost*cost-2.0*Apq*cost*sint;
        a[p][q]=a[q][p]=0.5*(Aqq-App)*sin2t+Apq*cos2t;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            if (i!=p&&i!=q)
            {
                double u=a[p][i],v=a[q][i];
                a[p][i]=u*cost+v*sint;a[q][i]=v*cost-u*sint;
                u=a[i][p],v=a[i][q];
                a[i][p]=u*cost+v*sint;a[i][q]=v*cost-u*sint;
            }
        //计算特征向量 
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            double u=EigVec[i][p],v=EigVec[i][q];
            EigVec[i][p]=u*cost+v*sint;EigVec[i][q]=v*cost-u*sint;
        }
    }
    //对特征值排序 
    for (int i=1;i<=n;i++) id[i]=i,key[i]=a[i][i];
    std::sort(id+1,id+n+1,cmpEigVal);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        EigVal[i]=a[id[i]][id[i]];
        for (int j=1;j<=n;j++)
            tmpEigVec[j][i]=EigVec[j][id[i]];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            EigVec[i][j]=tmpEigVec[i][j];
    //特征向量为列向量 
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%lf",&mat[i][j]);
    Find_Eigen(n,mat,EigVal,EigVec);
    printf("EigenValues = ");
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lf ",EigVal[i]);
    printf("\nEigenVector =\n");
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            printf("%lf%c",EigVec[i][j],j==n?\'\n\':\' \');
    return 0;
}