一、背景

二叉树是数据结构中的重点，也是难点。二叉树是一种非线性结构，比数组、栈、队列等线性结构相比复杂度更高，想要做到心中有“树”，需要自己动手画图、观察、思考，才能领会其真谛。该文将会结合图形，深入理解二叉树、满二叉树及完全二叉树的概念。

二、基本概念

2.1 结点

• 结点是组成二叉树的最小单元。
  — 用图形表示
  
  — 用代码表示

	// 结点
	class Node<E> {
        E e;
        Node left, right;

        Node(E e) {
            this.e= e;
            this.left = null;
            this.right = null;
        }
    }

2.2 二叉树

• 每个结点的度（结点拥有的子树数目）不超过2的树叫做二叉树
  

2.2.1 二叉树的深度

• 结点的最大层次数称为树的深度或高度
  

2.3 满二叉树

• 指深度为k且有2^k-1个结点的二叉树，即所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
• 下图中深度为4，2⁴-1=15个结点，且所有叶子都在第四层上。
  

2.4 完全二叉树

• 一颗深度为k的二叉树，k层的结点都是连续靠左并不可隔开的，并且1～k-1层的结点也组成了一棵满二叉树，这样的二叉树，我们称为完全二叉树。
  

2.4.1 完全二叉树的线性存储

• 出于简便起见,完全二叉树通常采用数组进行线性存储
  

/**
 * 完全二叉树的线性存储
 *
 * @author zhuhuix
 * @date 2020-06-24
 */
public class FullBinaryTree {
    private Object[] arr;
    private int size;

    FullBinaryTree(int capacity) {
        this.arr = new Object[capacity + 1];
        this.size = 0;
    }

    public int getSize() {
        return this.size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return this.size == 0;
    }

    public void add(Object e, int index) {
        assert index <= this.arr.length;
        this.arr[index] = e;
        this.size++;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "FullBinaryTree{" +
                "arr=" + Arrays.toString(arr) +
                ", size=" + size +
                \'}\';
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        FullBinaryTree fullBinaryTree = new FullBinaryTree(26);
        // 从下标1开始存入26个字母
        for (Character c = \'A\'; c <= \'Z\'; c++) {
            fullBinaryTree.add(c, c - \'A\' + 1);
        }

        System.out.println( fullBinaryTree.toString());
    }
}

2.4.2 完全二叉树的创建与遍历

/**
 * 完全二叉树的创建与遍历
 *
 * @author zhuhuix
 * @date 2020-06-24
 */
public class BinaryTree {

    // 结点
    private Node root;
    // 结点数
    private int size;
    // 存放结点
    private ArrayList<Node> list;

    public BinaryTree() {
        this.root = null;
        this.size = 0;
        this.list = new ArrayList<>();
    }

    public void createTree(Object[] array){
        for(int i=0;i<array.length;i++){
            Node node =new Node(array[i]);
            list.add(node);
            if (this.root==null){
                this.root = node;
            }
        }
        if(list.size()>0){
            for(int i=0;i<array.length/2;i++){
                if(2*i+1<list.size()) {
                    list.get(i).left=list.get(2 * i + 1);
                }
                if(2*i+2<list.size()) {
                    list.get(i).right=list.get(2 * i + 2);
                }
            }
        }
    }

    // 前序遍历
    public void preOrder(Node root){
        if(root == null){
            return ;
        }
        else{
            System.out.println(root.getData());
        }
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    public Node getRoot() {
        return root;
    }

    // 私有内部类-树结点
    private class Node {
        Object data;
        Node left, right;

        Node(Object data) {
            this.data = data;
            this.left = null;
            this.right = null;
        }

        Object getData() {
            return data;
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        Character[] array ={\'A\',\'B\',\'C\',\'D\',\'E\',\'F\',\'G\',\'H\',\'I\',\'J\',\'K\',\'L\',
                \'M\',\'N\',\'O\',\'P\',\'Q\',\'R\',\'S\',\'T\',\'U\',\'V\',\'W\',\'X\',\'Y\',\'Z\'};
        binaryTree.createTree(array);
        binaryTree.preOrder(binaryTree.getRoot());
    }
}