数学&概率题&智力题&算法题 总结
组合数公式：
1. C(n,m)=C(n,n-m)
2. C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) 杨辉三角
等差数列:
通项公式：an=a1+(n-1)d
前n项和：s=n*a1+n(n-1)/2*d
等比数列：
通项公式：an＝a1*q^(n-1)
前n项目和: s=a1*(1-q^n)/(1-q)
直线公式：
y=kx+b k=(y2-y1)/(x2-x1) b=y1-x1*(y2-y1)/(x2-x1)
两直线平行k1=k2 两直线垂直 k1*k2=-1
1. 给一条长度为1的线段，在线段上选取两个点将其分成3段，求这三段能拼成三角形的概率？
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，假设其中一段距离左端点的距离为x，另一段为y，令y>x，那么三段的长度分别为x, y-x, 1-y
根据两边之和大于第三边有：y > 1/2 , y-x < 1/2 , x < 1/2, y-x > 0，这几个条件可以确定一个三角形，面积是1/8，这代表x和y能构成三角形的取值范围。
对于线段的切割，有 0<x<y<1, 也就是0<x<1, 0<y<1, x<y组成三角形的面积是1/2，那么1/8/(1/2)=1/4即为能组成三角形的概率。
2. 将54张扑克牌均分成3份，其中大小王在一份里面的概率是多少？
首先将54张牌均分成3份的分法有：M = C(54, 18)*C(36, 18)*C(18, 18)
大小王在一张牌中的分法有：N = C(3, 1)*C(52, 16)*C(36, 18)*C(18, 18)
那么N / M即为所求。
3. 有两个盒子，50个红球和50个黑球，现在设计一种分配方案，使得随机选择一个盒子，然后随机选择一个球，这个球是红球的最大概率是多少？
分配方案：将一个盒子里放一个红球，然后其他所有球都放到另一个盒子里面。
概率：1/2 * 1 + 1/2 * 49/99 = 74.7%
4. 将一个数组均匀打乱的算法？
令当前数组长度为n，在里面随机选择一个数，将其与最后一个数交换，然后再对前n-1个数做相同操作。
5. 利用异或进行两数交换
a = a^b
b = a^b
a = a^b
分析：先令a=a^b，那么b=a^b=(a^b)^b=a，a=a^b=(a^b)^a=b
6. 不用比较符求出a,b的最大值
max=(abs(a+b)+abs(a-b))/2
分析：if a > b 有 max = (a+b+a-b)/2 = a
if a < b 有 max = (a+b+b-a)/2 = b
7. 不用加减乘除运算符求两个数的和
while(b) {
sum = a^b;
carry = (a&b)<<1;
a = sum;
b = carry;
}
return a;
分析：a^b的意思是a和b在二进制下相加，但是不考虑进位，a&b在二进制下为1的位表示相加需要进位的地方，所以需要向左移一位，然后只要进位不为0，就需要再次和上一次不考虑进位的和用同样的方法进行相加。
8. X>=5，X和X+2为素数，证明X+1是6的倍数
首先任意三个连续的自然数都有一个可以被3整除。
证明：对于n-1, n, n+1
假设n%3=0
假设n%3=1有(n-1)%3=0
假设n%3=2有(n+1)%3=0
得证。
因此由于X和X+2都是素数，那么X+1一定是3的倍数，由于X>=5且X和X+2都是素数那么它们一定是奇数所以X+1一定是偶数，X+1含有因子2和因子3所以一定能被6整除。
9. 随即洗牌算法及其证明
在1~n随机选一个数与a[n]交换，再从1~n-1随机选一个数和a[n-1]交换，以此类推。这样做可以做到均匀洗牌，也就是1~n的全排列可以等概率的均匀得到。
证明：首先从n个数中随机选共有n种可能情况，然后在n-1个数中随机选共有n-1种可能情况，那么可以获得的情况有n*(n-1)*(n-2)*…*1种，相当于全排列，也就是全排列中的所有情况都可以等概率的得到。
10. 从海量数据（不能读入内存中）中找中位数，数据都是32位的
解法一：采用分段读入的方法，假设每次读入n个数，用一个长度为n的优先队列进行维护，这样扫一遍海量数据，就可以的到数据中前n大的数，把这n个数去掉，假设海量数据有N个，那么下次就只读入剩下的N-n个数，再找到的就是n+1~2n大的数，以此类推，直到找到第N/2个数。时间按复杂度是O(N/2/n*Nlogn)。
解法二：从32位入手，将每个数据按照二进制分成前后两部分，分别为16位长度，先按照前16位，分成2^16个区间，扫一遍海量数据，统计每个区间一共有多少个数，然后可以确定中位数所在区间，之后就是在这个区间找第k个数，用后16位，将中位数所在的那个前16位区间分成2^16份，统计每个区间有多少个数，就可以确定中位数是哪个了，时间复杂度是O(n)。
11. 三门问题
三扇门，一扇后面有车，另外两扇后面是羊，现在你选了一扇后，主持人打开一扇发现是羊，问你换不换，换了是车的概率是多少？不换是车的概率是多少？
用贝叶斯公式解释一下：
P(你当前选择的这扇门是车|主持人选择的一扇门是羊) = P(你选择的这扇门是车&主持人选择的一扇门是羊) / P(主持人选择的一扇门是羊)
= P(主持人选择的一扇门是羊|你选择的这扇门是车) * P(你选择的这扇门是车) / P(主持人选择的一扇门是羊)
= (1 * 1 / 3) / 1
= 1 / 3
所以更换另一扇门是车的概率为2 / 3, 不更换当前这扇门是车的概率是1 / 3。
12. 烧香问题
两柱香，烧完一柱香所用时间都是1小时，找出一种可以判断15分钟的切割方法
先点燃香1的一端，同时点燃香2的两端，当香2燃尽后，过了半小时，香1还剩一半，这时同时点燃香1的两端就可以在15分钟内燃尽。
13. 灯管问题
房间里有三盏灯分别由三个开关控制，只能进房间一次，需要找出哪个开关控制哪盏灯
先打开一盏灯一段时间，然后关闭它，打开另一盏灯，进入房间，可以确定当前开关控制着哪盏灯，然后摸一下，热的那个就是之前那盏灯，剩下一盏灯对应没打开过的那个开关。
14. 盲人分袜子
两个盲人，每人都买了黑白两对袜子，总共8只，但是他们把袜子混到了一起，现在要求找出一种方案，使得每人都有一对黑袜子和一对白袜子
每个人分别在一对袜子里拿一只就可以了。
15. 蓄水池采样
问题1. 构造一个随机数生成器，使得如果其生成数范围在1～n则每个数被选中的概率都是1/n，比如范围是1～2那么得到1和2的概率都是1/2，范围是1～3则得到1，2，3点概率都是1/3。
构造方法是：首先令num＝1，然后用1/2的概率去决定是否用2替换num，也就是令num＝2，然后再用1/3的概率决定是否用3替换2，依此类推，对于第n个数n用1/n的概率决定是否用n去替换num。这样下来，n个数替换结束后，num＝1～n中任意数字的概率都是1/n。
证明： 开始只有1，那么1被选中的概率P(1)=1，之后添加了2，2被选中的概率是P(2)=1/2，此时1还能被选中的概率P(1最终保留下来)=P(1被选中)*P(2没被选中的概率)＝1*(1-1/2)=1/2，之后又添加了3，那么如果已经用2替换了1，此时2不被替换掉概率是P(2最终保留下来)=P(2被选中)*P(3没被选中的概率)=1/2*(1-1/3)=1/3，也就是说范围1～3内，最终生成了2的概率是1/3，再来看1，如果1一直没被替换掉，也就是P(1最终保留下来)=P(1被选中)*P(2没被选中)*P(3没被选中)＝1*(1-1/2)*(1-1/3)=1*1/2*2/3=1/3，也就是说在1～3的范围内，最终生成了1点概率也是1/3。
那么对于n个数最终生成第m个数的情况，有：
P(m最终保留下来)=P(m被选中)*P(m+1没被选中)*P(m+2没被选中)*…*P(n没被选中)
=1/m*(1-1/(m+1))*(1-1/(m+2))*…*(1-1/n)
=1/m*m/(m+1)*(m+1)/(m+2)*…*(n-1)/n
=1/n
也就是说n个数中，每个数都是等概率被选中的，得证。
问题2. 在1～n的范围内选出k个数，保证1～n每个数被选中的概率相等。
构造方法是：先保留1～k，然后增加一个数k+1，拿他替换1～k中的数字的概率是k/k+1，替换必须是等概率的1/k，对于第n个数，拿他替换1～k中的数字的概率是k/n，这样可以保证范围在1～n的所有数中每个数被选到这k个数中的概率都是k/n。相当于把上个问题的1变成了k。
证明：首先只有k个数的时候它们被选中的概率是1，那么第k＋1个数选进来，这k个数中的某一个ki不被替换的概率是
P(ki保留下来)=P(ki被选中)*[P(k+1被选中)*P(k+1没有替换ki)+P(k+1没被选中)]=1*[k/(k+1)*(k-1)/k+1/(k+1)]=k/(k+1)
对于m保留到最后的概率为
P(m保留到最后)=P(m被选中)*[P(m+1被选中)*P(m+1没替换m)+P(m+1没被选中)]*[P(m+2被选中)*P(m+2没替换m)+P(m+2没被选中)]*…*[P(n被选中)*P(n没替换m)+P(n没被选中)]
=k/m*[k/(m+1)*(k-1)/k+(m+1-k)/(m+1)]*[k/(m+2)*(k-1)/k+(m+2-k)/(m+2)]*…*[k/n*(k-1)/k+(n-k)/n]
=k/m*m/(m+1)*(m+1)/(m+2)*…*(n-1)/n
=k/n
也就是说n中的任意一个数被选到k个数里的概率都是k/n，得证。
应用1. 给个很长的链表，不知道具体有多少节点，现在只允许遍历链表一次，让从链表中选择k个节点，并且链表中节点都是等概率被选中的。
先遍历前k个节点，然后从第k+1个节点开始，每增加一个节点，如果这个节点是第i个，都保证它有k/i的概率被选中，并且以1/k的概率去替换k个节点中的一个，当遍历完链表之后k个节点即为满足等概率条件被选取的节点。
16. 用随机数生成器rand5()去构造一个随机数生成器rand7()
用两个随机数生成器rand5()可以均匀生成25个五进制数，然后将这些五进制转换为10进制是6～30，减去5得到1～25，然后将22～25舍弃，也就是得到这几个数就重新取，将1～21三个一组分成7组，也就是模7同余的数放到一组。
类似的还可以用rand7去组合rand10：用两个rand7生成49个数，然后去掉9个，4个一组。
rand2和rand5去组合rand10：rand2=0时返回rand5，rand2=1时返回rand5+5。
rand2和rand7去组合rand10：rand2=0时返回rand7，rand2=1时返回rand7+7去掉最后四个数。
17. 幼儿园有4名男孩和若干名女孩，现在加入一名儿童，性别随机，然后随机挑出一名儿童是男孩，问加入的那名儿童是女孩的概率。
运用贝叶斯公式解决：A表示挑出了一名男孩 B1表示加入了一名男孩 B2表示加入了一名女孩
现在求 P(B2|A)=P(B2A)/P(A)=P(A|B2)P(B2)/[P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)]，因为加入儿童的性别是随机的，因此，P(B1)=P(B2)=1/2，假设开始有N名女孩，那么上式
P(B2|A)=P(A|B2)/(P(A|B1)+P(A|B2))=4/(N+1)/[5/(N+1)+4/(N+1)]=4/9。
18. 掷骰子，正面朝上的数字有多大就给多少钱，问最多愿意花多少钱去玩这个游戏？
计算收益的数学期望，骰子六个面，每个面朝上的概率是1/6，那么受益的期望是 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3.5 所以最多花3.5元去玩。
子问题：如果能掷两次，第二次可以选择掷或者不掷，并且如果第二次掷了，那么受益只能按照第二次的给，问愿意花多少钱去玩？
已知掷一次期望收益是3.5元，也就是说第二次期望受益是3.5元，所以如果第一次掷出了4 5 6的话，第二次肯定不掷了，否则还是要掷一发试试的，第一次掷出4 5 6的概率是1/2，所以选择掷第二次的概率也是1/2，第一次如果掷出了1 2 3的话，受益应该按照第二次的算，也就是3.5，第一次如果掷出了4 5 6的话，收益按照第一次算也就是4*1/3+5*1/3+6*1/3=5，那么最终期望受益是5*1/2+3.5*1/2=4.25
19. 桶里面有M个白球，每次从桶中取一个球，不管是白球还是红球都染红然后再放回去，问将桶中所有球都染红的期望次数是多少？
令E[i]表示桶里已经有i个红球，将剩下的球都染红的期望次数，那么有E[i]=(i/M)*E[i]+(1-i/M)*E[i+1]+1, 化简后有E[i]=E[i+1]+M/(M-i)
有P[M]=0，可以进行递推P[M-1]=P[M]+M/1=M, P[M-2]=P[M-1]+M/2=M+M/2, P[M-3]=P[M-2]+M/3=M+M/2+M/3, … , P[0]=P[1]+1=1+M/(M-1)+…+M/3+M/2+M
20. 无穷多只兔子，体重不一，从里面选出10只，挑出重量最大的A，然后再选20只，挑出其中重量最大的B，问A比B大的概率是多少？
相当于一共挑出来30只兔子，分成两堆，一堆10只，一堆20只，问重量最大的兔子在第一堆中的概率是多少，C(10,1) / C(30,1) = 1/3
21. 掷骰子直到出现6为止，问出现6的期望次数是多少？
设掷出6的期望次数为E，那么当前成功的概率是1/6，失败的概率是5/6，成功的话掷1次，失败的话掷1次后还要再掷E次，所以期望递推公式是
E=1/6*1+5/6*(1+E)，E=6
22. 一把宝剑，目前是1级，每往上升一级需要一个宝石，升级成功率是50%，等级小于5的时候，失败不会降级，等级大于5的时候，失败会降一级，问将宝剑升到9级至少需要宝石的期望数量。
设E[i]表示从等级i-1升到i的期望宝石数量，那么对于i<=5，有 E[i]=1/2*1+1/2*(1+E[i])，有E[i]=2，对于i>5的情况有 E[i]=1/2*1+1/2*(1+E[i-1]+E[i])，表示如果成功花费一块宝石，如果失败，首先需要花费一块宝石，然后降一级到i-2所以需要先升到i-1花费E[i-1]块宝石，然后再升到i需要E[i]块宝石，得到E[i]=E[i-1]+2，那么有E[2]=E[3]=E[4]=E[5]=2，
E[6]=4, E[7]=6, E[8]=8, E[9]=10，从1级升到9级需要E[2]+E[3]+…E[9]=36块宝石。
23. 两个人轮流抛硬币，先抛到正面者可以吃到苹果，问先手吃到苹果的概率是？
P(先手吃到苹果的概率)=P(先手第一次抛出正面)+P(先手第二次抛出正面)+P(先手第三次抛出正面)+…+P(先手第n次抛出正面) ，其中n是趋于无穷大的。
=P(先手第一次抛出正面)+P(先手第一次没抛出正面)*P(后手第一次没抛出正面)*P(先手第二次抛出正面)+…+P(先手第一次没抛出正面)*P(后手第一次没抛出正面)*…*P(先手第n-1次没抛出正面)*P(后手第n-1次没抛出正面)*P(先手第n次抛出正面)
=1/2+1/2*1/2*1/2+…+1/2*1/2*…*1/2+…
=1/2+1/2^3+1/2^5+…+1/2^n+…
等比数列的前n项和，s=a1(1-q^n)/(1-q)其中n是趋于无穷大的，那么n趋于无穷时s=1/2*(1-1/4^n)/(1-1/4)=2/3。
24. 一对夫妇，先后生了两个孩子，其中一个是女孩，问另一个是男孩的概率是多少？
因为题目说了是”先后”，所以需要讨论先后顺序，总共四种可能：(男男)，(女女)，(男女)，(女男)，其中一个是女孩，那么总共只有其中三种情况，这三种情况中一女一男总共两种情况，因此答案是2/3。
如果不分先后顺序的话，那总共只有(女女)和(男女)两种情况，答案就是1/2了。
25. 一个国家里的每个家庭都只想要男孩，他们会一直生，直到生出一个男孩为止，问这个国家的男女比例是多少？
单看每个家庭，男孩个数的期望E1=1，因为生出一个男孩后就不会再生。女孩的期望个数是E2，生女孩的情况有 (男) (女男) (女女男) (女女女男) … (女女…女男)，
E2=1/2*0+1/2*1/2*1+1/2*1/2*1/2*2+…+(n-1)*(1/2)^n+…
=(1/2)^2+2*(1/2)^3+3*(1/2)^4+…+(n-1)*(1/2)^n+…
2E2=1/2+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+…+n*(1/2)^n+…
2E2-E2=E2=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+…+(1/2)^n+…
等比数列的前n项和是E2=(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1
E1=E2=1男女孩期望个数都是1，所以比例是1:1
26. 平均要取多少次(0,1)之内的随机数才能让其和超过1？
e次，e是自然对数的底。
27. 两个人在一个圆桌上放硬币，直到摆不下就算输，问先手的必胜策略？
先手将硬币放桌子中间，然后后手放在哪个位置，先手就放在其对称的位置。
28. 一个矩形蛋糕，中间有个矩形空洞，矩形空洞并不是位于蛋糕中心，如何一刀将蛋糕分成面积相同的两份？
取蛋糕中心点和空洞中心点的连线，然后沿着这条线切割，肯定可以将矩形蛋糕和空洞平分，那么它俩面积的差肯定也是平分的。
29. N*M的巧克力，每次只能将一块掰成两块，问掰成N*M的小块至少需要掰多少次？
N*M-1次，因为每掰一次只能增加一块巧克力。或者这样做，先掰成M块，需要M-1次，再将这M块掰成N*M块，需要M*(N-1)次，总共M*N-1次。
30. N个数，每个数都不超过N-1（至少有一个数重复了），现在告诉你有一个数是重复的，如何找出这个数？如果每个数都不超过N+1，每个数都不重复，问1~N+1少了哪个？
1. 用这N个数的和减去1~N-1的和。
2. 用1~N+1的和减去这N个数的和。
31. 判断一个数是不是2的幂
一个数是2的幂，那么二进制表达式中最高位是1，其他位全是0，所以直接判断b&(b-1)是否为0就可以了。
33. A和B分别在两座岛上，B有病，A有药，C有船，船上有箱子，箱子要是不上锁东西会被偷走，A和B各自有把锁，问A如何将药运给B？
首先A把药放到箱子里面，然后上锁，运到B这里后B上自己的锁，再运回A，A将自己的锁打开，再运回B，B打开自己的锁就行了。
34. 两种药A和B，每天分别吃一粒A和B，现在打开药瓶A，倒出一片在手上，然后打开药瓶B不小心倒出了两片在手上，问如何保证不浪费药片的前提下正确服药？
再倒出一片A药片，然后将每片药都等分，现在有四堆，分两天吃，每天都在每堆里面选择一半，可以组成A+B。
35. 如何用一个天平、7g和2g的砝码称三次将140g砝码分成50g和90g？
第一次将140g分成70g和70g
第二次一边放9g一边放70g，然后得到61g
第三次一边放9g一边放61g，得到50g。。。
36. 三筐水果，分别是苹果、梨、苹果和梨混合，每个筐的标签都是错的，现在要求从一个筐子里面选出一个水果，然后判断出每个筐子的实际情况。
拿贴着混合标签的筐子里面的一个水果，如果是苹果，那么这个筐子一定全是苹果，然后另外两个筐子不是梨就是混合，贴着梨的肯定不是梨，肯定是混合，那么贴着混合的肯定是梨。如果第一次拿的是梨也同理。
37. 25匹马，速度都不同，一共5个赛道，不能计时，一次只能知道五匹马的速度快慢，问至少需要多少场比赛才能分出前三名？
把这25匹马分成5组，赛五场，然后每场最快的马拿出来再赛一场，就知道最快的马了，根据最后这场的前三名，找出它们之前所在的组，因为第四第五名的马所在的组肯定不会有哪匹马能成为2、3名，对于最后一轮前三名所在的组，第一名所在的组中速度第2、3快的有可能成为所有马中2、3快的，第二名所在的组中速度第1、2快的有可能成为所有马中第2、3快的，然后第三名中速度最快的有可能成为所有马中第3快的。这样一来这五匹马再赛一轮，取前两名就是所有马中第2、3快的。总共需要比7次。
38. 给10亿个数排序
使用位图bitmap，10亿个数有10^9，假设里面最大的数是10^9，那么分成20组，每组5*10^7个，然后对于每个数字num，将bitset第num位置为1，总共遍历20次就能完成排序。
bitset<10000000> bitmap将占用10000000bit的内存，也就是1250000Byte。
下面的代码对10000000个数据进行排序，分两次读入，第一次读入[0,5000000)范围内的数据，第二次读入[5000000,1000000)范围内的数据。排序思想和技术排序一样。
#include <cstdio> #include <bitset> #include <time.h> #include <stdlib.h> using namespace std; const int max_each_scan = 5000000; // 每次读入的数字范围 int main() { clock_t begin = clock(); // 开始计时 bitset<max_each_scan> bitmap; // 位图使用bitset FILE *fp_unsort_file = fopen("unsort.txt", "r"); int num; while(fscanf(fp_unsort_file, "%d ", &num)!=EOF) { if(num < max_each_scan) bitmap.set(num, 1); // 将第一组数据存入位图中 } FILE *fp_sort_file = fopen("sort.txt", "w"); for(int i=0;i<max_each_scan;++i) { if(bitmap[i]) fprintf(fp_sort_file, "%d ", i); } int result=fseek(fp_unsort_file, 0, SEEK_SET); // 将文件光标移动到文件的开始 if(result) printf("fseek failed!\n"); else { bitmap.reset(); while(fscanf(fp_unsort_file, "%d ", &num)!=EOF) { // 将第二组数据存入位图中 if(num >= max_each_scan && num < (max_each_scan<<1)) { num -= max_each_scan; bitmap.set(num,1); } } for(int i=0;i<max_each_scan;++i) { if(bitmap[i]) fprintf(fp_sort_file, "%d ", i + max_each_scan); } } clock_t end=clock(); // 记录程序运行结束的时间 printf("Time cost is %ds\n",(end-begin)/CLOCKS_PER_SEC); fclose(fp_sort_file); fclose(fp_unsort_file); return 0; }
39. 在10亿条数据中找出重复出现次数最多的前n条
使用位图的思想，将10^9的数据分成1000组，每组10^6个，然后对这10^9条数据进行1000次遍历，注意没法一次存到内存中，只能从文件中每次读取一个，然后判断当前数据是否在[0,10^6), [10^6,2*10^6), … , [999*10^6,10^9)范围内，对于每一组范围都通过偏移将数据映射到[0，10^6)内部，统计其出现次数，然后使用优先队列维护n个元素，用每一组范围的统计结果来更新优先队列即可。
如果指明数据时IP地址的话，由于IP地址是32位的，因此总共可能有2^32种情况存在，将其分为2^10组即可。
示例代码：
#include <cstdio> #include <queue> #include <utility> #include <string.h> using namespace std; int times[10000001]; const int max_each_scan = 10000000; typedef pair<int,int> P; priority_queue< P, vector<P>, greater<P> > q; int main() { FILE *unsort_file = fopen("data.txt", "r"); for(int i=1;i<=10;++i) { int num; memset(times, 0, sizeof(times)); while(fscanf(unsort_file, "%d", &num)==1) { if(max_each_scan*(i-1)<num && num<=max_each_scan*i) ++times[num-(i-1)*max_each_scan]; } for(int j=1;j<=max_each_scan;++j) { if(times[j]) { q.push(P(times[j],j+(i-1)*max_each_scan)); if(q.size() == 11) q.pop(); } } if(fseek(unsort_file, 0, SEEK_SET)) { printf("fseek failed\n"); return -1; } } while(!q.empty()) {printf("%d\n",q.top().second);q.pop();} return 0; }
40. 要求在10亿个32位整数中找到第k大的数，10亿个数太多没发存到内存中，只能存到文件中。两种解法，一是可以将32位数分成两段，开辟一个2^16大小的数组，然后遍历所有数据，将每个数据高16位对应数组每个元素，统计每个区间的元素个数，然后判断第k大的数在哪个区间中，这样就确定了这个数据的高16位，之后再遍历一遍，统计高16位满足条件的数中低16位落到指定区间的个数，然后就可以判断第k大的数是哪个了。
还有一种解法是用位图的思想，将数据分成2^10个区间，每个区间长度都是2^22，使用优先队列记录每个区间前k大的数即可。