一、循环神经网络基础

​ 在前面的文章中，介绍了全连接神经网络(DNN)和卷积神经网络(CNN)，以及它们的训练和使用。回忆一下，它们都是能单独的处理一个个的输入，前一个输入和后一个输入是完全没有关系的。然后，现实当中是，某些任务需要能够更好的处理序列性质的信息，即前面的输入和后面的输入是有关系的。例如，当我们理解一句话意思时，孤立的理解这句话的每个词都是不够的，我们需要处理这些词连接起来的整个序列；当我们处理视频时，也不能只单独的去分析每一帧，而要分析这些帧连接起来的整个序列。这时，使用我们前文介绍的DNN和CNN是不够的，而需要用到深度学习领域中另一类非常重要的神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Network, RNN)。RNN种类繁多，过程繁琐，本部分首先对其结构进行剥茧抽丝，以理解RNNs及其训练算法；进一步地，介绍两中常见的RNN类型：长短时记忆网络(Long Short-Term Memory Network,LSTM)，门控循环单元(Gated Recurrent Unit, GRU)。

1.1 从语言模型开始

为什么要从语言模型开始呢？因为，RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，例如，RNN可以构建语言模型。那什么是语言模型呢？

我们可以让电脑做这样一个练习：写出一个句子前面的一些词，然后，让电脑帮我们写出接下来的一个词。比如下面这句话：

我昨天上学迟到了，老师批评了____。

在这个句子中，接下来的词最有可能的是“我”，而不是“小明”，更不会是“吃饭”。

在这个例子中，语言模型是这样的一个东西：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。

语言模型是对一种语言的特征进行建模，它有很多用处。比如在语音转文本(STT)的应用中，声学模型输出的结果，往往是若干个可能的候选词，这时候就需要语言模型来从这些候选词中选择一个最有可能的。当然，它同样也可以用在图像到文本的识别中国(OCR)。

在使用RNN之前，语言模型主要采用N-Gram算法。N是一个自然数，比如2或者3.它的含义是：假设一个词出现的概率只与前面N个词相关。我们以2-Gram为例，对这句话给出部分进行分词：

我|昨天|上学|迟到|了|，|老师|批评|了|____。

如果用2-Gram进行建模，那么电脑在预测的时候，只会看到前面的“了”，然后，电脑会在语料库中，搜索“了”后面最有可能的一个词。不管最后电脑选择的是不是“我”，显然这个模型是不靠谱的，因为“了”前面说了那么一大推实际上是没有用到的。如果使用3-Gram模型呢，会搜索“批评了”后面最有可能的词，感觉比2-Gram靠谱了不少，但还是远远不够的。因为这句话最关键的信息“我”，远在9个词之前。

看到这儿，大家可能会想，可以继续提升N的值呀，比如4-Gram、5-Gram、\(\dots\)。实际上，大家再深入想一下就会发现，这个想法是没有实用性的，因为当我们想处理任意长度的句子时，N设为多少都是不合适的；另外，模型的大小和N的关系是指数级的，4-Gram模型就会占用海量的存储空间。

所以，就该轮到RNN出场了，RNN理论上可以往前看（或往后看）任意多个词。

1.2 什么是循环神经网络？

循环神经网络种类繁多，我们先从最简单的基础循环神经网络开始吧～

1.2.1 基本循环神经网络

下图是一个简单的循环神经网络，它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成：

循环神经网络的实在是太难画出来了，网上所有大神们都不得不用了这种抽象的手法。不过，仔细看的话，如果把上面有\(W\)的那个带箭头的圈去掉，它就变成了最普通的全连接网络了。\(x\)是一个向量，它表示输入层的值（这里没有画出来表示输入层神经元节点的圆圈），\(s\)是一个向量，它表示隐藏层的值（这里隐藏层画了一个节点，你也可以想象这一层其实是多个节点，节点数目与向量\(s\)的维度相同）；\(U\)是输入层到隐藏层的权重矩阵；\(O\)也是一个向量，它表示输出层的值；\(V\)是隐藏层到输出层的权重矩阵。那么，现在我们来看看\(W\)是什么，循环神经网络的隐藏层的值\(s\)不仅仅取决于当前这次输入\(x\)，还取决于上一次隐藏层的值\(s\)。权重矩阵\(W\)就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。

如果我们把上面的图展开，循环神经网络的也可以画成下面的样子：

现在看上去就比较清晰了，这个网络在\(t\)时刻接收到输入\(x_t\)之后，隐藏层的值是\(s_t\)，输出值是\(o_t\)。关键一点是，\(s_t\)的值不仅仅取决于\(x_t\)，还取决于\(s_{t-1}\)。我们可以用下面的公式来表示循环神经网络的计算方法：

​ $$o_t=g(Vs_t) \tag{1}$$

​ $$s_t = f(Ux_t+Ws_{t-1}) \tag{2}$$

式1是输出层的计算公式，输出层是全连接层，也就是它的节点都是和隐藏层的每个节点相连。\(V\)是一个输出层的权重矩阵，\(g\)是激活函数。式2是隐藏层的计算公式，它是循环层。\(U\)是输入\(x\)的权重矩阵，\(W\)是上一次输出值\(s_{t-1}\)作为这一次输入的权重矩阵，\(f\)是激活函数。

从上面的公式我们可以看出，循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵\(W\)。

如果反复把式2带入到式1，我们可以得到：

​ $$\begin{aligned}o_t &=g(Vs_t) \ &=Vf(Ux_1+Ws_{t-1})\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Ws_{t-2}))\&=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Ws_{t-3})))\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Wf(Ux_{t-3}+\dots)))) \end{aligned}$$

从上面可以看出，循环神经网络的输出值\(o_t\)，是受前面历次输入值\(X_t\)、\(X_{t-1}\)、\(X_{t-2}\)、\(\dots\)影响的，这也是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。

1.2.2 双向循环神经网络

对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，比如下面这句话：

我的手机坏了，我打算____一部新手机。

可以想象的是，如果我们只看到横线前面的词，手机坏了，那么我是打算修一修？换一部新的手机？还是哭哭？这些都是无法确定的。但是如果我们还看到横线后面的词是“一部新手机”，那么，横线上的词填“买”的概率就大得多了。

在上一节中的基本循环神经网络是无法对此进行建模的，因此，我们需要双向循环神经网络，如下图所示：

当遇到这种从未来穿越回来的场景时，难免处于懵逼的状态。不过我们还是可以用屡试不爽的老办法：先分析一个特殊场景，然后再总结一般的规律。我们先考虑上图中，\(y_2\)的计算。

从上图可以看出，双向循环神经网络的隐藏层要保存两个值，一个\(A\)参与正向计算，另一个值\(A\’\)参与计算。最终的输出值\(y_2\)取决于\(A_2\)和\(A_2\’\)。其计算方法为：

​ \(y_2=g(VA_2+V\’A_2\’)\)

其中\(A_2\)和\(A_2\’\)的计算为：

​ \(A_2=f(WA_1+UX_2)\)

​ \(A_2\’=f(W\’A_3\’+U\’X_2)\)

至此，我们已经可以看出一般的规律：正向计算时，隐藏层的值\(S_t\)与\(S_{t-1}\)有关；反向计算时，隐藏层的值\(S_t\’\)与\(S_{t+1}\’\)有关；最终的输出取决于正向和反向计算的加和。现在，我们仿照式1和式2，写出双向循环神经网络的计算方法：

​ \(O_t=g(VS_t+V\’S_t\’)\)

​ \(S_t=f(UX_t+WS_{t-1})\)

​ \(S_t\’=f(U\’X_t+W\’S_{t+1}\’)\)

从上面的三个公式可以看到，正向计算和反向计算不共享权重，也就是说\(U\)和\(U\’\)，\(W\)和\(W\’\)，\(V\)和\(V\’\)都是不同的权重矩阵。

1.2.3 深度循环神经网络

前面我们介绍的循环神经网络只有一个隐藏层，当然了，也可以堆叠两个以上的隐藏层，这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示：

我们把第\(i\)个隐藏层的值表示为\(S_t^{(i)}\)、\(S_t\’^{(i)}\)，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：

​ \(O_t=g(V^{(i)}S_t^{(i)}+V\’^{(i)}S_t\’^{(i)})\)

​ \(S_t^{(i)}=f(U^{(i)}S_t^{i-1}+W^{(i)}S_{t-1})\)

​ \(S_t\’^{(i)}=f(U\’^{(i)}S_t\’^{(i-1)}+W\’^{(i)}S_{t+1}\’)\)

​ \(\cdots\)

​ \(S_t^{(1)}=f(U^{(1)}X_t+W^{(1)}S_{t-1})\)

​ \(S_t\’^{(1)}=f(U\’^{(1)}X_t+W\’^{(1)}S_{t+1}\’)\)

1.3 循环神经网络的训练

1.3.1 循环神经网络的训练算法：BPTT

\(BPTT\)算法是针对循环层的训练算法，它的基本原理和\(BP\)算法是一样的，也包含同样的三个步骤：

1. 前向计算每个神经元的输出值；

2. 反向计算每个神经元的误差项\(\delta_j\)值，它是误差函数\(E\)对神经元\(j\)的加权输入\(net_j\)的偏导数；

3. 计算每个权重的梯度。

   循环层如下图所示：

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最后再用随机梯度下降算法更新权重。

前向计算

使用前面的式2对循环层进行前向计算：

​ \(S_t=f(UX_t+WS_{t-1})\)

注意：上面的\(S_t\)、\(X_t\)、\(S_{t-1}\)都是向量，用黑体字母表示（在这里都用大写替代表示了