古中国数学家的计算力真是惊人
版权申明：本文为博主窗户(Colin Cai)原创，欢迎转帖。如要转贴，必须注明原文网址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/8367610.html 作者：窗户 QQ：6679072 E-mail：6679072@qq.com
现代数学是建立在公理化的体系之上，可以认为是形而上学。公理化是数学的本质所在，古代中国人建立过数学的辉煌，但是却似乎并没有去思考数学的本质，而古希腊的《几何原本》是人类有史以来记载的最早数学往公理化方向努力，尽管《几何原本》中存在着公理的不完备，证明过程中依然有”想当然“的成分，比如直线上除某点之外的一点（几何原本中并没有公理支持直线上除了某点之外还可以取一点），但是往公理化运行的这个历史意义巨大。
很长时间，我都不太认为古代数学有哪些惊人，只是还知道勾股定理，杨辉三角，以及祖冲之算圆周率等。
今天老婆问我圆周率怎么算的，我就想了想。虽然圆周率可以有一堆无穷级数或者无穷乘积可以表示，我还是选择了用最简单的方式来回答，于是就直接行动起来吧。
选择一个单位圆，x2+y2=1，它的面积就是pi，于是用微积分逼近的方法来做，分成n等分，然后用上和或者下和逼近。当然要考虑精度问题，所以还是用上bc这个任意精度计算器，这个计算器我一直很喜欢使用，一边跟老婆解释一边写程序，程序很快写完。
scale = 12;/*所有计算精度小数点后12位*/ n = 10^6;/*单位圆切200万刀，y轴左右各100万刀*/ pi = 0;/*上和累计初始值为0*/ for(i=0;i<n;i++) { x = i/n;/*x坐标*/ y = sqrt(1-x^2);/*y坐标*/ s = 4*y/n;/*此块上和，4个象限对称4份*/ pi = pi+s;/*累和进去*/ } print "pi = ", pi, "\n";/*最终打印出累和出来的圆周率*/
用bc运行一下，我的虚拟机24秒后有了结果。
# time bc <2 pi = 3.141594151717 real 0m24.015s user 0m24.006s sys 0m0.008s
结果并不是很理想，计算精度12位其实只是影响了一点点累和时的精度问题，完全不是祖冲之的3.14159265级别的问题。
于是换条路吧，祖冲之的割圆术应该是对周长的，于是我就分它个215=32768份，成为一个32768边形，边长其实是2*sin(2*pi/32768),我们就来算这个值吧。sin(2x)=2sin(x)*cos(x)，因为是锐角，可算出sin(x)=sqrt((1-sqrt(1-cos(2x)*cos(2x)))/2)。
继续用bc来写，
n=13;/*从圆的内接正方形开始，开始对切13次*/ scale=20;/*纪念20位足够*/ s=sqrt(2)/2;/*sin(pi/4)*/ for(i=0;i<n;i++) { s = sqrt((1-sqrt(1-s^2))/2);/*一个个的推*/ } print "pi = ", 4*s*2^n, "\n";/*打印圆周率*/
运行一下，这次对于计算机就很快了，长度法比面积法靠谱，
# time bc <3 p = 3.14159264877598965760 real 0m0.007s user 0m0.004s sys 0m0.004s
可是，精度还差那么一点，看来应该多切一刀，把程序中的n改成14,精度符合要求。
# time bc <3 p = 3.14159265238350561280 real 0m0.005s user 0m0.000s sys 0m0.004s
这样的开平方运算用手算是很复杂的，参考我的博文《平方根的C语言实现(二) —— 手算平方根的原理》，我无法想像祖冲之如何面对这么复杂的运算的。中国古人虽然可能对于数学的基本原理没有做深层次的考虑（不排除以前考虑过，但资料丢失的可能，毕竟经过了嬴政和刘彻和那么多的朝代），但至少古人的计算能力真的是很让人震撼。