伽马函数常用性质总结以及高斯函数的矩母函数公式推导（随机过程）
\(\Gamma\)函数的定义
- 在实数域上伽马函数定义为：
\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0)
\]
\]
另外一种写法：
\[\Gamma(x)=2\int_0^{+\infty}t^{2x-1}e^{-t^2}dt
\]
\]
- 在复数域上伽马函数定义为：
\[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt
\]
\]
\(\Gamma\)函数常用性质
-
\(\Gamma(x+1)=\lim\limits_{N\to+\infty}\frac{n!n^x}{\prod_{m=1}^{n}(x+m)}\)
-
递归性质：
\[\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
\]
\]
- 对于正整数\(n\),
\[\Gamma(x)=(n-1)!\Gamma(1)
\]
\]
- 与白塔（Beta）函数的关系：
\[B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}
\]
\]
其中，\(B\)函数的定义为：
对于任意的\(P,Q>0\),
\[B(P,Q)=\int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx
\]
\]
- 对于\(x\in(0,1)\)，有
\[\Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{\sin{\pi}x}
\]
\]
- 常见\(\Gamma\)函数的取值：
\[\Gamma(\frac{1}{2})=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}
\]
\]
\[\Gamma(-\frac{3}{2})=\frac{4}{3}\sqrt{\pi}
\]
\]
\[\Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi}
\]
\]
\[\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}
\]
\]
\[\Gamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{4}\sqrt{\pi}
\]
\]
\[\Gamma(\frac{7}{2})=\frac{15}{8}\sqrt{\pi}
\]
\]
\[\int_0^{+\infty}e^{-t^2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\]
\]
- 对于任意正整数\(n\)，\(\Gamma(n)=(n-1)!\)
求高斯函数\(f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}dx\)的矩母函数
引理1：\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)
证明：
\[\begin{align*}
&(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy\\
&=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\\
&=2\pi\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\\
&=2\pi(-e^{-\frac{r^2}{2}}|_0^{+\infty})\\
&=2\pi
\end{align*}
\]
&(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt)^2\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy\\
&=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\\
&=2\pi\int_0^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}rdr\\
&=2\pi(-e^{-\frac{r^2}{2}}|_0^{+\infty})\\
&=2\pi
\end{align*}
\]
因此，\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=\sqrt{2\pi}\)
\[\begin{align*}
g_{\xi}(\theta)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\theta x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\}dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}+\theta x}dx\\
&\overset{w=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}}{=}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta(w\sigma_1+\mu_1)}dw\\
&=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta w\sigma_1}dw\\
&=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2-\theta^2\sigma_1^2}{2}}dw\\
&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2}{2}}dw\\
&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}\\
&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\\
\end{align*}
\]
g_{\xi}(\theta)&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\theta x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\}dx\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}+\theta x}dx\\
&\overset{w=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}}{=}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta(w\sigma_1+\mu_1)}dw\\
&=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{w^2}{2}+\theta w\sigma_1}dw\\
&=e^{\mu_1\theta}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2-\theta^2\sigma_1^2}{2}}dw\\
&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(w-\theta\sigma_1)^2}{2}}dw\\
&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}\\
&=e^{\mu_1\theta+\frac{\theta^2\sigma_1^2}{2}}\\
\end{align*}
\]
参考文献
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