椭圆滤波器与巴特沃斯、切比雪夫的比较和实现
椭圆滤波器（Elliptic filter）又称考尔滤波器（Cauer filter）：这是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。它在通带和阻带的波动相同，这一点区别于在通带和阻带都平坦的巴特沃斯滤波器，以及通带平坦、阻带等波纹或是阻带平坦、通带等波纹的切比雪夫滤波器。
首先看看巴特沃斯滤波器的频响特性：
可以看出巴特沃斯的通带和阻带都十分平缓
接下来是切比雪夫滤波器频响曲线：
看得出来，切比雪夫是阻带平稳，通带等波纹。
接下来是椭圆滤波器：
可以看出，三种滤波器中，椭圆滤波器的过渡带最窄，但通带和阻带都是等波纹的，也就是说过渡带的特性是由牺牲阻带和通带的稳定性换来的。
而对于相同的性能要求，它所需要的阶数最低。
对于模拟椭圆滤波器，振幅平方函数为：
式中 R N(Ψ,
L) 为雅可比椭圆函数
; L 是一个表示波纹性质的参量
。其特性曲线如下图所示
。
可以看出，在归一化通带内，R（）在（0,1）之间振荡，而超过Ω之后，R在（L^2，∞）之间振荡，这一特点使得滤波器同时 在通带和阻带具有任意衰减量。
下图是典型的N为奇数的椭圆滤波器的幅度特性：
由于模拟滤波器的设计方法非常成熟 ,许多典型系统有成熟的公式
、图表可以查阅 ,便于设计
; 因此设计数字滤波器的主要方法是
: 首先设计一个合适的模拟滤波器
, 然后将他 “
变换 ” 成满足给定指标的数字滤波器
。
设计椭圆滤波器的四个步骤：
1.确定数字滤波器性能指标：: ω p
, ω s ,
Ap
, A
s
2.将数字滤波器性能指标转换成相应的模拟滤波器性能指标 ;
3.设计满足指标要求的模拟滤波器 H a(s)
4.通过变换将模拟滤波器转换成数字滤波器 。
椭圆滤波器的MATLAB实现：
库函数：: ellipord
函数和 ellip 函数
ellipord 函数的功能是求滤波器的阶数 。该函数可以得到数字椭圆型滤波器的最小阶数
n 和截止频率 Wn
,并使滤波器在通带内(0
, Wp)的波纹系数小于通带最大衰减
R p
,阻带内(W
s ,
1)的波纹系数大于阻带最小衰减
R s
ellip
函数的功能是设计滤波器 ，[ b,
a] = ellip(n
, R p
, R s
, Wn),
利用 ellipord
函数得到的最小阶数 n 和截止频率
Wn
,可以设计低通 、或带通滤波器(当
W n
=[ W 1
, W 2]
时)。
例如
: 设计一个带通椭圆数字滤波器 ,
通带为 100 ～250 H z,过渡带均为
50 H z,通带波纹小于
3 db ,阻带衰减为
30 db ,采样频率
f s
=1 000 H z
。其程序为 :
fs = 1000
;
Rp =3;
Rs =30
;
Wp =2
*[ 100 200]
/fs;
W s = 2
*[ 50 250]
/f s;
[ n , W n] =
ellipo rd (Wp
, W s ,
Rp , Rs);
[ b , a] =
ellip(n
, Rp,
Rs Wn);
freqz (b,
a, 512
, fs)
程序运行结果如下图所示 ：