曲率知识总结
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Introduction
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弧微分
设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数,图形如图2.1中\(\widehat{AB}\)所示.
图2.1
现在存在一段弧s, \(s(x) = \widehat{AM}\).则曲线s从M到M\’点关于x的变化率为\(\frac{ds}{dx}\):
\(\frac{ds}{dx}=\frac{\widehat{MM\’}}{\Delta x}=\frac{\widehat{MM\’}}{|MM\’|} * \frac{|MM\’|}{\Delta x}= \frac{\widehat{MM\’}}{|MM\’|} * \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta x}\)
因为\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\widehat{MM\’}}{|MM\’|} = 1\)
所以\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\widehat{MM\’}}{|MM\’|} * \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta x} = \frac{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}{\Delta x}=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}\)
总结得:\(\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}=\sqrt{1+(y\’)^2}\)
最终得:\(ds=\sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}dx = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}= \sqrt{1+(y\’)^2}dx\)
使用参数方程表示时:
\(\left\{\begin{matrix}\\x = X(t)\\y = Y(t)\\\end{matrix}\right.\)
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}X(t) = X\'(t) = x\’ = \frac{dx}{dt}\)
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}Y(t) = Y\'(t) = y\’ = \frac{dy}{dt}\)
最终得:\(ds=\sqrt{(X\’)^2+(Y\’)^2}dt\)
弧长公式
由弧微分公式可以推导出弧长的计算公式:
1. 当使用一般形式 \(y = f(x), s\)表示方程走过的路径时，\(s\)是关于x的积分：
\(\int_{a}^{u}ds = \int_{a}^{u}\sqrt{1+(y\’)^2}dx\)
\(s(u) = \int_{a}^{u}\sqrt{1+(y\’)^2}dx\)
2. 使用参数方程时，\(s\)是关于t的积分：
\(s(u) = \int_{a}^{u}\sqrt{(X\’)^2+(Y\’)^2}dt\)
还有使用向量函数的表现形式，这里先不表。
曲率与曲率半径
曲率
如图3.1所示，在一段弧线上,从点M开始,取距离为\(\Delta s\), 切线转角为\(\Delta \alpha\)的位移到达\(M\’\),则定义弧段\(\Delta s\)上的平均曲率\(\overline{K} = |\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|\),定义在点M处的曲率为 \(K=\lim_{\Delta s \to 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}| = |\frac{d\alpha }{ds}|\)。
图3.1
曲率公式推导：
设曲线弧\(y =f(x)\)二阶可导，曲线在一点处的切线角为\(\alpha\),可知在一点处的斜率可表示为 \(y\’ = \frac{dy}{dx} = tan (\alpha)\),从而可得
\(\alpha = arctan(y\’)\)。
\(\frac{d\alpha }{dx} = (arctan(y\’))\’y\’\’ = \frac{y\’\’}{1 + (y\’)^2}\)
因为\(ds=\sqrt{1+(y\’)^2}dx\)
所以\(d\alpha = \frac{y\’\’}{(1 + (y\’)^2)^{\frac{3}{2}}}ds\),\(K = |\frac{d\alpha }{ds}| = | \frac{y\’\’}{(1 + (y\’)^2)^{\frac{3}{2}}}|\)。
使用参数方程表示时:
\(\left\{\begin{matrix}\\x = X(t)\\y = Y(t)\\\end{matrix}\right.\)
\(K = |\frac{d\alpha }{ds}| = | \frac{X\’Y\’\’-X\’\’Y\’}{((X\’)^2 + (Y\’)^2)^{\frac{3}{2}}}|\)
过程参照：https://blog.csdn.net/buaazyp/article/details/82622972
曲率半径
曲率的倒数就是曲率半径。
图3.2
如上图所示，\(\Delta s = R\Delta \alpha\)
所以\(K = \lim_{\Delta s \to 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}| = \frac{1}{R}\)。
最终得\(R = \frac {1}{K}\)。
由这一性质得，曲率越大，其对应的圆越小，曲率半径越小，相反的，曲率越小，其对应的圆越大，曲率半径越大。