极限与连续

数列的定义

按照一定法则排列的无穷多个实数称为数列
第n项\(x_n\)称为数列的一般项或通项

极限的定义

\(设有数列{x_n},a为常数，如果对于 \forall \epsilon > 0,\exists N \in N,使得n > N时，恒有|x_n-a|<\epsilon 成立，就称a为该数列n \to \infty时的极限，记为\)
\(\underset{n \to \infty}{lim}=a 或 x_n \to a(n \to \infty)\)
\(此时也称数列{x_n}收敛于a，如果数列无极限，就称数列发散或不收敛\)

tip:
1.\(数列中n \to \infty默认是正无穷，且不能加正号\)
2.一个数列极限为1的充要条件是只有有限项不满足\(x_n – 1<\epsilon\)
而不是有无限项满足\(x_n – 1<\epsilon\)，反例{\((-1)^n\)}

一些例题

该类证明题的关键在于找到N
1.证明\(\underset{n \to \infty}{lim} \frac{3n^2}{n^2-3} =3\)
proof:要使\(|\frac{3n^2}{n^2-3} – 3|< \epsilon\)
\(则\frac{9}{n^2-3} < \epsilon, 限定n>3\)
\(得 N = [\sqrt{ 3 + \frac{9}{\epsilon}}]\)
tip：重点在于证明N的存在性，而n取值足够大时必然有解，因此可以限定n>3

2.证明\(\underset{n \to \infty}{lim} \sqrt[n]{a} =1\)
（1）a=1,\(\sqrt[n]{a} \equiv 1\)，显然成立
（2）a>1,\(\sqrt[n]{a}>1,则n>\frac{lg a}{lg (\epsilon + 1)}\)
（3）0< a < 1,与（2）类似
tip：某些条件下需要分类讨论来去掉绝对值

3.用定义证明\(\underset{n \to \infty}{lim} \sqrt[n]{n}=1\)
proof:令\(x_n=\sqrt[n]{n}-1,则有(x_n+1)^n=n\)
\((x_n+1)^n>1+ \frac{n(n-1)}{2}x_n^2\)
\(则n>=2时，有x_n< \sqrt{\frac{2}{n}}\)
\(取N=[\frac{2}{\epsilon^2}]+1，满足定义，得证\)

收敛数列的性质

1.唯一性
证明过程：https://www.zhihu.com/question/349890180
采取反证法，值得一提的是取\(\epsilon = \frac{b-a}{2}\)，
以及\(|x_n-a|<\epsilon \Rightarrow x_n< \frac{b+a}{2}\)
是只取了\(\frac{3a-b}{2} < x_n< \frac{b+a}{2}\)的一边
2.有界性

对于收敛数列\({x_n}\)，必存在M>0,使得对于一切n,恒有\(|{x_n}| \leq M\)成立

证明过程实际上是利用极限的定义解决无穷多项的问题，再在有限项中取最大值得到M。
3.保号性

对于收敛数列\({x_n}\)，必存在N使得n>N时,\({x_n}\)的正负号和其极限a的正负号相同

4.数列\({x_n}\)收敛于a的充要条件是数列\({x_n}\)的所有子数列（或 奇子数列和偶子数列）都收敛于a

子数列：从数列\({x_n}\)中任选出无限多项，并按下标从小到大排成一列，则称该数列为\({x_n}\)的子数列

函数的极限

自变量\(x \to \infty\)时函数的极限

定义：\(设f(x)在|x|充分大时有定义，A为常数，如果对于 \forall \epsilon > 0,\exists X > 0,使得|x|>X时，恒有|f(x)-A| < \epsilon成立，就称A为f(x)在x \to \infty时的极限\)
\(记作\underset{n \to \infty}{lim}f(x)=A或f(x) \ to A(x \to \infty)\)

自变量\(x \to x_0\)时函数的极限

邻域：\(中心在x_0,半径为\delta(\delta > 0)的开区间（x_0 – \delta,x_0 + \delta）为x_0的\delta邻域，记为U（x_0,\delta）\)
\(U（x_0,\delta）除去x_0后称为x_0的去心\delta邻域，记为\overset{。}{U}（x_0,\delta）\)
定义：\(设f(x)在x_0的某去心邻域有定义，A为常数，如果对于 \forall \epsilon > 0,\exists \delta > 0, 使得0<|x-x_0|<\delta时，恒有|f(x)-A| < \epsilon，就称A为f(x)当x \to x_0时的极限\)
\(记作\underset{n \to x_0}{lim}f(x)=A或f(x) \ to A(x \to x_0)\)

函数极限与函数在该点有无定义及f(x)为何值无关

函数的单侧极限

1.定义参考双侧极限
2.两个定理
（1）\(\underset{n \to \infty}{lim}f(x)=A的充要条件是\underset{n \to -\infty}{lim}f(x)=\underset{n \to +\infty}{lim}f(x)=A\)
（2）\(\underset{n \to x_0}{lim}f(x)=A的充要条件是\underset{n \to x_0^-}{lim}f(x)=\underset{n \to x_0^+}{lim}f(x)=A\)

一些例题

1.证明\(\underset{x \to x_0}{lim}sin x=sin x_0\)
\(|sin x-sin x_0|=|2sin \frac{x-x_0}{2}cos \frac{x+x_0}{2}|\)
\(\leq |2sin \frac{x-x_0}{2}| \leq |x-x_0| < \epsilon\)
\(取\delta = \epsilon,满足条件\)

极限的性质

极限的四则运算

设lim f(x)=A,lim f(x)=B,则
1.\(lim[f(x) \pm g(x)]=A \pm B=lim f(x) \pm lim g(x)\)
2.\(lim[f(x)g(x)]=AB=lim f(x)lim g(x)\)
3.\(lim[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{A}{B}=\frac{lim f(x)}{lim g(x)},B \neq 0\)
推论：lim f(x)=A,则
1.\(lim [Cf(x)]=CA=Climf(x)\)
2.\(lim [f(x)]^k=A^k=[lim f(x)]^k\)

前提条件：1.拆开的函数有极限，而且无穷大不算极限 2.分母不为0

一些例题

1.\(对任意多项式f(x),\underset{z \to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\)
2.\(设P(x),Q(x)为多项式函数，Q(x_0) \neq 0,\underset{x \to x_0}{lim}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\)
3.\(\underset{x \to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\underset{x \to 1}{lim}\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}\)

极限的复合运算性质

\(设函数u=g(x)在x_0的某去心邻域内\)不等于a\(但\underset{x \to x_0}{lim}g(x)=a,又\underset{u \to a}{lim}f(x)=A,则\underset{x \to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u \to a}{lim}f(u)=A\)
2.\(设\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A,\underset{n \to \infty}{lim}x_n=x_0且x_n \neq x_0,n=1,2,…,则\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=\underset{n \to \infty}{lim}f(x_n)=A\)

证明

只需证明\(lim g(x) \to a等价于u \to a\)
同时满足g(x)在该去心邻域中不等于a。

一些例题

1.证明\(\underset{x \to 0}{lim}sin \frac{1}{x}不存在\)
proof:取\(x_n=\frac{1}{2n\pi},x_n\’=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\)
\(\underset{n \to \infty}{lim} sin x_n=0,\underset{n \to \infty}{lim}sin x_n\’=1,且两个极限都等于原函数的极限\)
\(由函数极限的唯一性的逆否命题知，原函数极限不存在\)
2.证明\(lim f(x)存在,lim g(x)不存在,则lim[f(x)+g(x)]不存在\)
反证法：假设lim[f(x)+g(x)]存在
\(lim g(x)=lim[f(x)+g(x)-f()x]=lim [f(x)+g(x)]-lim f(x)存在，与题设矛盾，得证\)
3.\(\underset{x \to x_0}{lim}cos x=\underset{x \to x_0}{lim}sin(\frac{\pi}{2}-x)=sin(\frac{\pi}{2}-x)=cos x_0\)

函数极限的性质

1.唯一性
提供一个不一样的证法：
\(设lim f(x)=A或B，证明A=B\)
\(|B-A|=|(f(x)-A)-(f(x)-B)|\leq|f(x)-A|+|f(x)-B|=2\epsilon，即A=B\)
2.局部有界性（在邻域内有界）
3.函数的局部保号性
\(\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A,且A>0(或A<0),则在x_0的某去心邻域内,f(x)>0(或f(x)<0)\)
4.极限的保号性
\(如果在x_0的某去心邻域内f(x)>=0(或<=0),且\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A,则A>=0(或A<=0)\)
Add:注意等号，提供一个特例\(\frac{1}{x}，函数值大于0，但极限值为0\)
5.极限的保序性
\(如果在x_0的某去心邻域内f(x)>=g(x),且\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=A，\underset{x \to x_0}{lim}g(x)=B,则A>=B\)
证明：构造F(x)=f(x)-g(x),由极限的保号性可证

无穷大，无穷小

无穷小

\(lim f(x)=0,就称f(x)为此变化过程中的无穷小\)

无穷小的相关定理

1.在自变量的同一变化过程中，\(lim f(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+\alpha,其中\alpha=\alpha(x)为无穷小\)
（1）充分性：\(\alpha=f(x)-A\)
（2）必要性：\(lim f(x)=lim (A+\alpha)=lim A+lim\alpha=A\)
2.在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小的代数和或乘积仍为无穷小
由极限的四则运算法则可证
3.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小
用定义证明（有界函数不一定有极限）
4.常数和无穷小的乘积仍为无穷小
eg1:\(\underset{x \to 0}{lim}xcos\frac{1}{x}=0\)
eg2:\(\underset{x \to \infty}{lim}\frac{arctan x}{x}=0\)

无穷大

\(以x \to x_0为例，如果对于\forall M>0(不论M有多大),\exists \delta>0,当|x-x_0|<\delta,恒有|f(x)|>M,则f(x)为该变化过程中的无穷大\)

1.当f(x)的极限为无穷大时，它的函数极限实际上是不存在的
2.无穷大函数必无界，反之不真(如xcos x，构造出摇摆函数即可)
3.有界函数与无穷大相乘不一定为无穷大，主要考虑有界函数为无穷小的情况

无穷大与无穷小的关系

在自变量的同一变化过程中，\(设f(x) \neq 0,则f(x)为无穷小的充要条件是\frac{1}{f(x)}为无穷大\)

一些例题

1.\(\infty – \infty\)型不定式
\(\underset{x \to 1}{lim}(\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x^3-1})=\underset{x \to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\frac{2}{3}\)
把差的形式转化为积的形式处理
2.\(\frac{\infty}{\infty}型不定式\)
\(\underset{x \to \infty}{lim}\frac{3x^2+x+2}{x^3+2x-1}=0\)
解法：上下同除x的三次方得解
conc：
1.幂函数多项式在\(\frac{\infty}{\infty}\)情况下可以采取同除法解决
2.上述情况在分子次数高时极限为\(\infty\)，分母次数高为0，同次为最高次系数商
3. \(\underset{n \to \infty}{lim}(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+…+\frac{n}{n^2})\)
\(=\underset{n \to \infty}{lim}(\frac{n(n+1)}{2n^2})=\frac{1}{2}\)
PS：无穷项无穷小相加不一定为无穷小

无穷小的比较

（1）\(lim \frac{\alpha}{\beta}=0,就称\alpha为\beta的高阶无穷小，记作\alpha=o(\beta)，也称\beta为\alpha的低阶无穷小\)
（2）
\(lim \frac{\alpha}{\beta}=C(C \neq 0),就称\alpha为\beta的同阶无穷小，特殊地，C=1时，称\alpha与\beta为等价无穷小，记作\alpha ~ \beta\)

等价无穷小的重要结论

在自变量的同一变化过程中，A_A\’,BB\’，且\(lim \frac{A\’}{B\’}\)存在，则\(lim \frac{A}{B}\)存在，且两者相等.

证明：\(lim \frac{A}{B}=lim \frac{A}{A\’} \frac{A\’}{B\’} \frac{B\’}{B}\)
Att：加减法不能随意代换，乘除法可以

极限的存在准则

夹逼准则

\(假设三个数列满足以下两个条件：\)
\(（1）从某一项起有a_n \leq b_n \leq c_n\)
\(（2）\underset{n \to \infty}{lim} a_n=\underset{n \to \infty}{lim} b_n=a\)
\(则数列{c_n}收敛，且\underset{n \to \infty}{lim} c_n=a\)
对于函数有相似的定义

第一个重要极限\(\underset{n \to 0}{lim}\frac{sin x}{x}=1\)

1.证明：cos x < \(\frac{sin x}{x}\) < 1
2.相关推论：\(x \to 0时\)
sin x ~ x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x， 1-cos x ~ \(\frac{1}{2}x^2\)

一些例题

1.\(求\underset{n \to \infty}{lim}(\frac{1}{n^3+1} + \frac{2^2}{n^3+2} + … + \frac{n^2}{n^3+n})\)
sol：\(\frac{i^2}{n^3+n} \leq \frac{i^2}{n^3+i} \leq \frac{i^2}{n^3+1}\)
\(原式 \leq \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+1)}，极限为\frac{1}{3}，左侧同理，得到原式极限为\frac{1}{3}\)

单调有界收敛准则

补充：单调数列
\({x_n}满足x_1 \leq x_2 … \leq x_n，则称{x_n}为单增数列\)
单增数列允许等于等号

单调有界数列一定收敛

函数满足单调有界未必收敛，因为可能是双侧极限

推论

1.\(如果单增数列{x_n}有上界,则\underset{n \to \infty}{lim}x_n存在且\underset{n \to \infty}{lim}x_n \leq M\)
1.\(如果单减数列{x_n}有下界,则\underset{n \to \infty}{lim}x_n存在且\underset{n \to \infty}{lim}x_n \geq M\)

一些例题

1.\(0<x_1<3,x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)},n=1,2,3…证明{x_n}有极限并求x_n的极限值\)
sol：
先证有界性：
\(显然有0<x_n<3，则n \geq 2时，x_{n+1} \leq \frac{1}{2}(x_n+3-x_n)=\frac{3}{2}\)
再证单调性：
\(n\geq2时,\frac{x_{n+1}}{x_n}=\sqrt{\frac{3}{x_n}-1} > 1，此时x_n单调递增\)
求极限值：
\(设极限值为a,a=\sqrt{a(3-a)},解得a=0（舍去）或a=\frac{3}{2}\)
conc：
1.一般先证有界性，再证单调性，因为有时有界性为单调性服务
2.注意部分单调的情况，说明清楚n的情况

第二个重要极限\(\underset{x \to \infty}{lim}(1+\frac{1}{x})^x = e\)

证明：

函数的连续性

函数连续的概念

1.定义

定义1：\(设函数f(x)在x_0的某邻域内有定义，如果\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)，就称f(x)在x_0处连续\)
定义2：\(设函数f(x)在x_0的某邻域内有定义，如果\underset{x \to x_0}{lim}\Delta y=0，就称f(x)在x_0处连续\)

2.相关定理
\(y=f(x)在x_0处连续的充要条件是y=f(x)在x_0处既左连续又右连续\)
PS：用于讨论分段函数在分段点的连续性

函数的间断点

\(如果函数f(x)在x_0处不连续，就称x_0为函数f(x)的间断点\)

第一类间断点

\(f(x_0^-)和f(x_0^+)都存在\)
（1）可去间断点：\(f(x_0^-)=f(x_0^+)，包括\underset{x \to x_0}{lim}f(x) \neq f(x_0)和f(x_0)不存在\)
（2）跳跃间断点：\(f(x_0^-) \neq f(x_0^+)\)

第二类间断点

\(f(x_0^-)和f(x_0^+)至少有一个不存在，常见的有无穷间断点（y=sgn x的x=0）和振荡间断点（y=sin \frac{1}{x}的x=0），其它的有狄利克雷函数等\)

连续函数的运算，初等函数的连续性

定理

\(设函数f(x)和g(x)在x_0处均连续，则f(x) \pm g(x)，f(x)g(x)，\frac{f(x)}{g(x)}（g(x_0) \neq 0），在x_0处连续\)
2.
\(如果f(x)在区间I_x上单调且连续，则其反函数在对应区间上也单调且连续\)
3.
\(函数u=g(x)在x_0处连续，函数y=f(u)在u_0=g(x_0)处连续，则复合函数在f[g(x)]在x_0处连续\)

结论

1.对于初等函数，若函数在某点有定义，则在该点必定连续。
2.\(如果函数f(x)是初等函数，且x_0是其定义区间内一点，则有\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\)
（初等函数连续->连续有极限值等于函数值->得到结论）

有限闭区间上连续函数的性质

最值相关

1.最值唯一，最值点不唯一

性质性质

1.最值定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
2.有界定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界
3.介值定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)不等于f(b)，val为介于f(a)和f(b)的任一值，则至少存在一点c在[a,b]上使得f(c)=val.
推论：
\(如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，有f(x_1)=M为最大值，f(x_2)=m为最小值，C \in (m,M)则至少存在一点x_3 \in (x_1,x_2)，使得f(x_3)=C\)
4.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c使得f(c)=0。