【字符串算法】AC自动机
国庆后面两天划水，甚至想接着发出咕咕咕的叫声。咳咳咳，这些都不重要!最近学习了一下AC自动机，发现其实远没有想象中的那么难。
AC自动机的来历
我知道，很多人在第一次看到这个东西的时侯是非常兴奋的。（别问我为什么知道）
但AC自动机并不是能自动AC的程序。。。
AC自动机之所以叫AC自动机，是因为这个算法原名叫 Aho-Corasick automaton，是一个叫Aho-Corasick 的人发明的。
所以AC自动机也叫做 Aho-Corasick 算法
该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法。
AC自动机的用处
那么有的同学可能就有疑问了，AC自动机又不能自动AC，有什么作用呢？
其实AC自动机和KMP的用法相似，都是用来解决字符串的匹配问题的；但不一样的是，AC自动机更多的被用来解决多串的匹配问题，换言之，就是有多个子串需要匹配的KMP问题。
例如，例如给几个单词 acbs，asf,dsef；
再给出一个 很长的文章（句子），acbsdfgeasf；
问在这个文章中，总共出现了多少个单词，或者是单词出现的总次数，这就是AC自动机要解决的问题了。
AC自动机的实现方法
AC 自动机是 以 Trie 的结构为基础 ，结合 KMP 的思想 建立的。
简单来说，建立一个 AC 自动机有两个步骤：
- 基础的 Trie 结构：将所有的模式串构成一棵 Trie。
- KMP 的思想：对 Trie 树上所有的结点构造失配指针。
然后就可以利用它进行多模式匹配了。
不明白trie的同学可以 点击这里学习
不了解KMP的同学可以点击这里学习
所以就让我们一起来一步一步实现AC自动机吧！
定义一颗字典树
首先我们需要定义一颗字典树，我们用struct来实现各个节点的定义:
struct node
{
int next[27];
int fail;
int count;
void init()
{
memset(next,-1,sizeof(next));
fail=0;
count=0;
}
}s[1100001];
存储后驱值的next[]数组
next[]数组就是正常Trie树里用来存储每个字符的后一个字符在s数组里的位置，比如我们读入一个字符串APPLE，那么：
s【1】存储的是A，它的next【P】=2，其余为-1；
s【2】存储的是P，它的next【P】=3，其余为-1；
s【3】存储的是P，它的next【L】=4，其余为-1；
s【4】存储的是L，它的next【E】=5，其余为-1；
s【5】存储的是E，它的next都为-1。
fail：失败指针
fail为失败指针，这个在后面的构造会讲到如何快速构造，那么有什么用呢？
我们来举个例子，这个例子这只显示了e的失配指针：
我们假设读入了she，shr，say，her四个单词，于是我们就得到了一棵可爱的字典树：
然后我们就只先构造一个失败指针：
例如匹配文章：sher，我们刚开始从s开始一直向左边走，走到e后发现：呀，没有路继续走了，如果暴力的从h开始又开始一轮匹配就极为浪费时间；这时我们就像，能不能利用之前的匹配信息呢？可以的！her的前缀he刚好和she的he相同，所以我们在she匹配失败的时候，就跳到了he后面继续匹配，发现r与r匹配！这就是fail指针的用处，是不是发现和KMP的next数组非常类似啊！
记录结尾的count
如果我插入一个单词APPLE，插入到最后E了，发现这个单词再也没有后面的字母了，这时我们就在这个E的count里面加上一个1，表示有1个单词以这个e作为结尾。
初始化的init()
我们在这里还定义了一个初始化函数init()，就是在开创到一个新起点时用来初始化一下的。
在字典树中插入单词
我们还是结合程序来讲解：
int ins()
{
int len=strlen(str+1);
int ind=0,i,j;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
j=str[i]-\'a\'+1;
if(s[ind].next[j]==-1)
{
num++;
s[num].init();
s[ind].next[j]=num;
}
ind=s[ind].next[j];
}
s[ind].count++;
return 0;
}
首先str数组就是我们要读入的字符串，ind表示我现在在s【】数组中的位置；接下来我们开始循环——对于每一个点：
如果他的前一个字母的next没有指向他的字母，那么我们就开创一个新点来存储这个字母，并且让他前一个字母的next指向它；
如果有直接指向它的字母的位置，那就直接跳过去就好了！
最后别忘了在每个单词的末尾的count加上1。
重点！！！快速构造fail指针
fail指针有什么用
首先，fail指针有什么用？我们继续使用上一个例子：
我们发现，左边的e的fail指针指向l最右侧的e，那么这个指针的含义是什么呢？我们不妨当一个点i指向了一个点j时，我们设从j开始，向上走L个字符就到了最顶点，其中从顶点到j的字符串为s；
在这个例子中，s为“he”，长度为L，也就是2；接着从i开始，向上再走L-1个字符，得到一个字符串ss，在这个例子中，ss也为“he”！
这时我们就惊讶的发现，s与ss相同！！
我们得知，当i的fail指针指向j，顶点到j的字符串s是顶点到i的字符串的后缀！
这样如果i继续往下匹配失败的话，就可以不用从头开始匹配，而是直接从他的fail开始匹配！节省了大量时间！这就是fail指针的精髓所在！
fail指针如何构造
我们先贴上代码：
int make_fail()
{
int head=1,tail=1;
int ind,ind_f;
for(int i=1;i<=26;i++)
{
if(s[0].next[i]!=-1)
{
q[tail]=s[0].next[i];
tail++;
}
}
while(head<tail)
{
ind=q[head];
for(int i=1;i<=26;i++)
{
if(s[ind].next[i]!=-1)
{
q[tail]=s[ind].next[i];
tail++;
ind_f=s[ind].fail;
while(ind_f>0 && s[ind_f].next[i]==-1)
ind_f=s[ind_f].fail;
if(s[ind_f].next[i]!=-1)ind_f=s[ind_f].next[i];
s[s[ind].next[i]].fail=ind_f;
}
}
head++;
}
return 0;
}
首先我们需要开启一个队列q，存储需要处理的点；
接着我们把所有与顶点相连的点加入到队列里，然后我们对于队列里的每个数进行操作：
首先将他的所有儿子都加到队列尾部，然后作为一个负责任的父亲节点，肯定不能只把儿子们丢到队尾就完事了，还有做好工作——帮儿子们做好fail指针——
首先假如我是那个父亲节点x，对于字母a子节点，我先看一下我的fail指针指向的节点y，看一下y有没有字母a子节点z，如果有，就太好了，我就让我的子节点的fail指针指向z；
如果没有，那就从y出发，继续看他fail指向的点的有没有字母a的子节点……直到找到满足条件的点。
如果实在没办法，就算fail一路跳到0号节点也找不到，那就没办法了，我的字母a子节点的fail就只好指向0号节点了【因为初始化就为0，所以此时就不用操作了】
我们举个具体的栗子来看看：
所以这样操作就可以快速构造fail指针了！
进行树上KMP
我们先看一下代码：
int find()
{
int len=strlen(des+1);
int j,ind=0;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
j=des[i]-\'a\'+1;
while(ind>0 && s[ind].next[j]==-1)ind=s[ind].fail;
if(s[ind].next[j]!=-1)
{
ind=s[ind].next[j];
p=ind;
while(p>0 && s[p].count!=-1)
{
ans=ans+s[p].count;
s[p].count=-1;
p=s[p].fail;
}
}
}
return 0;
}
一样的，ind表示我当前匹配好了的点，如果当前点不继续和IND的任何一个子节点相同，那么我就跳到ind的fail指针指向的点……知道找到与当前点匹配，或者跳到了根节点，与KMP十分相同！
需要注意的是由于这道题是求解哪些点在母串中出现，所以我们进行了一层优化：
while(p>0 && s[p].count!=-1)
{
ans=ans+s[p].count;
s[p].count=-1;
p=s[p].fail;
}
就是当我们匹配好到一个串s【从根节点到IND的串】的时候，我们就往它的fail一直跳，由于他的fail到根节点的字符串ss一定是s的后缀，所以ss在母串中也一定出现，这时就加上它的count再设置为-1，防止后续重复访问就好了!
模板题
[Luogu p3808]
题目背景
这是一道简单的AC自动机模板题。
用于检测正确性以及算法常数。
为了防止卡OJ，在保证正确的基础上只有两组数据，请不要恶意提交。
管理员提示：本题数据内有重复的单词，且重复单词应该计算多次，请各位注意
题目描述
给定n个模式串和1个文本串，求有多少个模式串在文本串里出现过。
输入输出格式
输入格式：
第一行一个n，表示模式串个数；
下面n行每行一个模式串；
下面一行一个文本串。
输出格式：
一个数表示答案
输入输出样例
输入样例#1： 复制
2
a
aa
aa
输出样例#1： 复制
2
说明
subtask1[50pts]:∑length(模式串)<=106,length(文本串)<=106,n=1；
subtask2[50pts]:∑length(模式串)<=106,length(文本串)<=106；
就是模板题，下面给出模板：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
int next[27];
int fail;
int count;
void init()
{
memset(next,-1,sizeof(next));
fail=0;
count=0;
}
}s[1100001];
int i,j,k,m,n,o,p,js,jl,jk,len,ans,num;
char str[1100000],des[1100000];
int q[1100000];
int ins()
{
int len=strlen(str+1);
int ind=0,i,j;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
j=str[i]-\'a\'+1;
if(s[ind].next[j]==-1)
{
num++;
s[num].init();
s[ind].next[j]=num;
}
ind=s[ind].next[j];
}
s[ind].count++;
return 0;
}
int make_fail()
{
int head=1,tail=1;
int inf,inf_f;
for(int i=1;i<=26;i++)
{
if(s[0].next[i]!=-1)
{
q[tail]=s[0].next[i];
tail++;
}
}
while(head<tail)
{
inf=q[head];
for(int i=1;i<=26;i++)
{
if(s[inf].next[i]!=-1)
{
q[tail]=s[inf].next[i];
tail++;
inf_f=s[inf].fail;
while(inf_f>0 && s[inf_f].next[i]==-1)
inf_f=s[inf_f].fail;
if(s[inf_f].next[i]!=-1)inf_f=s[inf_f].next[i];
s[s[inf].next[i]].fail=inf_f;
}
}
head++;
}
return 0;
}
int find()
{
int len=strlen(des+1);
int j,ind=0;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
j=des[i]-\'a\'+1;
while(ind>0 && s[ind].next[j]==-1)ind=s[ind].fail;
if(s[ind].next[j]!=-1)
{
ind=s[ind].next[j];
p=ind;
while(p>0 && s[p].count!=-1)
{
ans=ans+s[p].count;
s[p].count=-1;
p=s[p].fail;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d",&m);
num=0;s[0].init();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%s",str+1);
ins();
}
scanf("%s",des+1);
ans=0;
make_fail();
find();
printf("%d",ans);
return 0;
}
结语
通过这篇博客相信你一定已经学会了AC自动机！希望你喜欢这篇blog！！！