计算复序列的快速傅里叶变换。

序列\(x(n)(n=0,1,…,N-1)\)的离散傅里叶变换定义为

\[X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}, \qquad k=0,1,…,N-1
\]

其中\(W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\pi nk}{N}}\)，将序列\(x(n)\)按序号\(n\)的奇偶分成两组，即

\[\left.\begin{matrix}\begin{align*}x_{1}(n)=&x(2n)\\ x_{2}(n)=&x(2n+1)\end{align*}\end{matrix}\right\} \qquad n=0,1,…,\frac{N}{2}-1
\]

因此，\(x(n)\)的傅里叶变换可写成

\[\begin{align*}X(k) &= \sum_{n=0}^{N/2-1}x(2n)W^{2nk}_{N} + \sum_{n=0}^{N/2-1}x(2n+1)W^{(2n+1)k}_{N}\\&= \sum_{n=0}^{N/2-1}x_{1}(n)W^{nk}_{N/2} + W_{N}^{k}\sum_{n=0}^{N/2-1}x_{2}(n)W^{nk}_{N/2}\end{align*}
\]

由此可得\(X(k)=X_{1}(k)+W_{N}^{k}X_{2}(k), \qquad k = 0,1,…,\frac{N}{2}\)，式中

\[\begin{align*}X_{1}(k)&=\sum_{n=0}^{N/2-1}x(2n)W^{2nk}_{N}\\X_{2}(k)&=\sum_{n=0}^{N/2-1}x(2n+1)W^{(2n+1)k}_{N}\end{align*}
\]

他们分别是\(x_1(n)\)和\(x_2(n)\)的\(N/2\)点DFT。上面的推导表明：一个\(N\)点DFT被分解为两个\(N/2\)点DFT，这两个\(N/2\)点DFT又可合成一个\(N\)点DFT。但上面给出的公式仅能得到\(X(k)\)的前\(N/2\)点的值，要用\(X_{1}(k)\)和\(X_{2}(k)\)来表达\(X(k)\)的后半部分的值，还必须运用权系数\(W_N\)的周期性与对称性，即

\[W_{N/2}^{n(k+N/2)}=W_{N/2}^{nk}, \quad W_{N}^{(k+N/2)}=-W_{N}^{k}
\]

因此，\(X(k)\)的后\(N/2\)点的值可表示为

\[\begin{align*}X(k+\frac{N}{2})&=X_{1}(k+\frac{N}{2})+W_{N}^{k+N/2}X_{2}(k+\frac{N}{2})\\&=X_{1}(k)-W_{N}^{k}X_{2}(k), \ k=0,1,…,\frac{N}{2}-1\end{align*}
\]

通过上面的推导可以看出，\(N\)点的DFT可以分解为两个\(N/2\)点DFT，每个\(N/2\)点DFT又可以分解为两个\(N/4\)点DFT。依此类推，当\(N\)为2的整数次幂时（\(N=2^M\)），由于每分解一次降低一阶幂次，所以通过\(M\)次分解，最后全部成为一系列2点DFT运算。以上就是按时间抽取的快速傅里叶变换（FFT）算法。

序列\(X(k)\)的离散傅里叶反变换定义为

\[x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-nk}, \qquad n=0,1,…,N-1
\]

它与离散傅里叶正变换的区别在于将\(W_N\)改变为\(W_N^{-1}\)，并多了一个除以\(N\)的运算。因为\(W_N\)和\(W_N^{-1}\)对于推导按时间抽取的快速傅里叶变换算法并无实质性区别，因此可将FFT和快速傅里叶反变换（IFFT）算法合并在同一程序中。

是用C语言实现快速傅里叶变换（FFT）的方法如下：

  1. /************************************
  2. 	x       ---一维数组，长度为n，开始时存放要变换数据的实部，最后存放变换结果的实部。
  3. 	y       ---一维数组，长度为n，开始时存放要变换数据的虚部，最后存放变换结果的虚部。
  4. 	n 		---数据长度，必须是2的整数次幂。
  5. 	sign 	---当sign=1时，子函数计算离散傅里叶正变换；当sign=-1时，子函数计算离散傅里叶反变换
  6. ************************************/
  7. #include "math.h"
  9. void fft(double *x, double *y, int n, int sign)
  10. {
  11. 	int i, j, k, l, m, n1, n2;
  12. 	double c, c1, e, s, s1, t, tr, ti;
  13. 	for(j = 1, i=1; i < 16; i++) {
  14. 		m = i;
  15. 		j = 2 * j;
  16. 		if(j == n)
  17. 			break;
  18. 	}
  19. 	n1 = n - 1;
  20. 	for(j = 0, i = 0; i < n1; i++) {
  21. 		if(i < j) {
  22. 			tr = x[j];
  23. 			ti = j[j];
  24. 			x[j] = x[i];
  25. 			y[j] = j[i];
  26. 			x[i] = tr;
  27. 			y[i] = ti;
  28. 		}
  29. 		k = n / 2;
  30. 		while(k < (j + 1)) {
  31. 			j = j - k;
  32. 			k = k / 2;
  33. 		}
  34. 		j = j + k;
  35. 	}
  36. 	n1 = 1;
  37. 	for(l = 1; l <= m; l++) {
  38. 		n1 = 2 * n1;
  39. 		n2 = n1 / 2;
  40. 		e = 3.14159265359 / n2;
  41. 		c = 1.0;
  42. 		s = 0.0;
  43. 		c1 = cos(e);
  44. 		s1 = -sign * sin(e);
  45. 		for(j = 0; j < n2; j++) {
  46. 			for(i = j; i < n; i += n1) {
  47. 				k = i + n2;
  48. 				tr = c * x[k] - s * y(k);
  49. 				ti = c * y[k] + s * x[k];
  50. 				x[k] = x[i] - tr;
  51. 				y[k] = y[i] - ti;
  52. 				x[i] = x[i] + tr;
  53. 				y[i] = y[i] + ti;
  54. 			}
  55. 			t = c;
  56. 			c = c * c1 - s * s1;
  57. 			s = t * s1 + s * c1;
  58. 		}
  59. 	}
  60. 	if(sign == -1) {
  61. 		for(i = 0; i < n; i++) {
  62. 			x[i] /= n;
  63. 			y[i] /= n;
  64. 		}
  65. 	}
  67. }

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