小波变换教程(四)

译文转：https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190303

原文转：http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart1.html

五、终极解决方案：小波变换

小波变换是这样一种变换：它提供了信号的时频表示（还有一些变换可以提供这些信息，如短时傅立叶变化，魏格纳分布等等）。

在任一刻出现的特殊的频谱分量都有特殊的意义。这种情况下，如果知道了这些特殊的频谱分量出现的时间会比较有益。举例来说，在脑电图中，一个事件相关电位的潜伏期是主要关注点（事件相关电位是指大脑对某一特定刺激的反应，例如闪灯，这种反应的潜伏期是从刺激的开始到反应发生这段时间）。

小波变换可以同时提供时间和频率信息，因此给出了信号的一种时频表示。

但是小波变换到底是如何变换的仍然是一个不同的有趣故事，需要在理解了短时傅立叶变换(STFT)之后再解释。小波变换是被用来替代短时傅立叶变换(STFT)的。我们将在后面详细阐述STFT。现在可以说，一些在STFT中遇到的有关分辨率的问题，可以用小波变换解决。

为了长话短说，我们略过一些时域信号的高通和低通滤波处理，这些滤波器用来滤除信号中的低频和高频部分分量。这个过程是重复进行的，每一刻都可以从信号中滤除一些频率分量。

这里解释一下滤波过程是如何工作的：假定我们有一个信号，其中最高频分量为1000Hz。第一步，我们通过高通和低通滤波器把信号分成两部分（滤波器必须满足某些特定的条件，即允许条件），结果产生了同一信号的两个不同版本，0-500Hz的信号（低通）和500-1000Hz的信号（高通）。

然后，我们可以拿任意一部分（通常是低频部分）或者二者来做相同的处理。这个过程叫做分解。

假设我们拿低频部分做了处理，现在我们就有了3列数据，分别为0-250Hz，250-500Hz和500-1000Hz。

然后再对低通滤波过的信号做高通和低通滤波处理，现在我们就有了4列数据，分别为0-125Hz，125-250Hz，250-500Hz和500-1000Hz。我们持续进行这个处理过程，直到将信号分解到一个预定义的级别。这样我们就有了一系列信号，这些信号实际上表示相同的信号，但是每一个序列都有不同的频带。我们知道哪些信号对应哪个频段，如果我们将这些信号放在一起画出三维图，一个轴表示时间，频率在另外一个轴上，幅度在第三个轴上。这幅图会告诉我们在某时刻出现的是什么频率的信号（这里有一个问题，叫做“不确定性原理”，即我们不能确切的知道哪个频率出现在哪个时间点上，我们仅仅知道那个频段出现在哪个时间段内，后文中将有更多关于此的介绍）。

不过，我仍然想用一个简明扼要的方式解释它：

最初是由海森堡发现并阐述了不确定性原理（测不准原理），这个原理是这样的，移动粒子的动量和位置不能同时确定，对我们这个课题则是这样的：

在时频平面内的一个确切的点上，信号的频率和发生时间不能同时确定。换句话说：在任意一个时间点，我们不能确定哪个频谱分量存在。我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频谱分量存在。这是一个设计到分辨率的问题，正是因为这个原因，才使得研究者们从快速傅立叶变换(STFT)转到了小波变换(WT)上。快速傅立叶变换的分辨率是固定的，而小波变换则能给出不同的分辨率：

高频信号在时域内可以得到很好的解决，低频信号则可以在频域内得到很好的解决，这意味着，相对于低频分量，高频分量更容易在时域内定位（因为有更小的相对误差）。反而言之，低频分量更容易在频域内定位。看下面这张图：

  f ^
          |*******************************************         continuous
          |*  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *         wavelet transform
          |*     *     *     *     *     *     *
          |*           *           *           *
          |*                       *
          --------------------------------------------> time

对上图的解释是：最上面一行是对高频信号的多个采样，其采样间隔时间也较短。就是说高频信号更容易在时域内处理。最下面的一行是对低频信号的采样，特征点较少，因此，低频信号在时域内并不容易处理。

       ^frequency
        |
        |
        |
        | *******************************************************
        |
        |
        |
        | *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *  *   discrete time
        |                                                           wavelet transform
        | *     *     *     *     *     *     *     *     *     *
        |
        | *           *           *           *           *
        | *                       *                       *
        |----------------------------------------------------------> time

在离散时间域内，信号的时间分辨率如上图所示，但是现在，频率信息的分辨率在每一个阶段都不相同。注意，低频信号更容易在频域内处理，高频则正好相反。注意到图中后续频率分量的间隔是如何随频率增高（这里应为降低）而增大的。

下图是一些连续小波变换的例子。让我们以一个正弦波为例，这个正弦波包含了出现在不同时刻的两个频率分量。前半部分是低频信号，后面是高频信号。