三角函数学习笔记
三角函数入门
1.1.1 任意角
知识点
角的定义：平面内一射线绕着一个端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
表示方法：
- 用大写字母 \(A,B,C\) 等字母表示
- 用希腊字母 \(\alpha,\beta\) 等表示
角的分类：
- 正角：按逆时针方向旋转形成的角
- 负角：按顺时针方向旋转形成的角
- 零角：射线没有做转动形成一个零角
终边[^ 1]相同的角
所有与角 \(\alpha\) 终边相同的角，连同角 \(\alpha\) 在内，可构成一个集合 \(S=\{\beta|\beta=\alpha+k*360^o,k\in \Z\}\) 。
即任一与角 \(\alpha\) 终边相同的角，都可以表示成角 \(\alpha\) 与整数个周角和
象限角：使角的_定点_与原点重合，角的_始边_与x轴正半轴重合，角的_终边_在第几象限就称为第几象限角。若终边落在坐标轴上时，认为这个角不属于任何象限，称为轴线角
象限角 \(\alpha\) 的表示：（\(k\in\Z\)）
- \(\alpha\) 是第一象限角，则 \(\{\alpha|k*360^o<\alpha<k*360^o+90^o\}\)
- \(\alpha\) 是第二象限角，则 \(\{\alpha|k*360^o+90^o<\alpha<k*360^o+180^o\}\)
- \(\alpha\) 是第三象限角，则 \(\{\alpha|k*360^o+180^o<\alpha<k*360^o+270^o\}\)
- \(\alpha\) 是第四象限角，则 \(\{\alpha|k*360^o+270^o<\alpha<k*360^o+360^o\}\)
轴线角 \(\alpha\) 的表示：（\(k\in\Z\)）
- 角α终边在x轴上，则 \(\{\alpha|\alpha=0^o+k*360^o\}\)
- 角α终边在y轴上，则 \(\{\alpha|\alpha=90^o+k*360^o\}\)
- 角α终边在x轴正半轴上，则 \(\{\alpha|a=0^o+k*360^o\}\)
- 角α终边在x轴负半轴上，则 \(\{\alpha|a=180^o+k*360^o\}\)
- 角α终边在y轴正半轴上，则 \(\{\alpha|a=90^o+k*360^o\}\)
- 角α终边在y轴负半轴上，则 \(\{\alpha|a=270^o+k*360^o\}\) 或 \(\{\alpha|\alpha=270^o+k*360^o\}\)
结论：（\(k\in\Z\)）
两角相等，终边重合；终边重合，两角不一定等。
- \(α、β\) 终边相同 \(\Leftrightarrow \alpha=\beta+k\times360^o\)
- \(α、β\) 终边关于x轴对称 \(\Leftrightarrow\alpha=-\beta+k\times360^o\)
- \(α、β\) 终边关于y轴对称 \(\Leftrightarrow\alpha=180^o-\beta+k\times360^o\)
- \(α、β\) 终边关于原点对称 \(\Leftrightarrow\alpha=180^o+\beta+k\times360^o\)
- \(\alpha、\beta\) 终边互相垂直 \(\Leftrightarrow\alpha=\beta\pm90^o+k\times360^o\)
例题
例一：若角 \(\alpha\) 在第四象限角，则 \(90^o+\alpha\) 是第一象限角
例二：已知 \(\alpha\) 在第一象限角，求 \(2\alpha,\dfrac\alpha2,\dfrac\alpha3\) 所在的象限：
\(\because k\times360^o<\alpha<90^o+k\times360^o\)
\(\therefore2k\times360^o<2\alpha<180^o+2k\times360^o\)
\(k\times180^o<\dfrac\alpha2<45^o+k\times180^o\)
\(\therefore2\alpha\) 可能在第一二象限 ,\(\dfrac\alpha2\) 可能在第一三象限
有一个技巧是：
什么意思呢？把每一个象限 分母 等分，依次表上 1，2，3，4。
例三：已知\(α\)在是第三象限角，\(\dfrac\alpha6\)在第一二三四象限。
注：在分母大于等于4时，一二三四都有可能，2分之\(\alpha\)太简单，故常考3分之
1.1.2 弧度制
知识点
-
弧度制:
将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角，记作 \(1\text{rad}\)。正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。单位是 \(\text{rad}\) (弧度）通常省略
-
弧度数公式及角度制与弧度制之间的换算:
角 \(\alpha\) 的弧度数公式:$|\alpha|=\dfrac lr (1为弧长、r为半径) $
——弧长公式：\(l=\dfrac{n\pi r}{180^o}\)（ \(n\) 为圆心角）
角度和弧度的换算：
- \(180^o=\pi rad\) —— \(180^o\) 的角，弧长为 \(\pi r\) ,弧度为 \(\pi rad\)
- \(1^o=\dfrac \pi{180^o}rad\)
- \(1rad=(\dfrac{180}\pi)^o\approx57^o\)
-
常用角度的弧度：
角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 \(0\) \(\dfrac\pi6\) \(\dfrac\pi4\) \(\dfrac\pi3\) \(\dfrac\pi2\) \(\dfrac23\pi\) \(\dfrac34\pi\) \(\dfrac56\pi\) \(\pi\) \(\dfrac32\pi\) \(2\pi\) -
弧度制下弧长与扇形面积公式：
- \(l=\dfrac{n\pi r}{180^o}=|\alpha|r\)
- \(S=\frac12lr=\frac12|\alpha|r^2\)
例题
-
\[1104^o=1104\times\dfrac\pi{180} rad\\-112^o30^{\prime}=-112.5^o\times\dfrac\pi{180}rad\\ \dfrac 7{12}\pi=\frac7{12}\times 180^o=105^o\\\dfrac{19}3\pi=\dfrac{19}3\times 180^o=1140^o
\] -
已知集合 \(A=\{x|x=\dfrac{k\pi}2+\dfrac\pi4,k\in\Z\},B=\{x|x=\dfrac{k\pi}4+\dfrac\pi2,k\in\Z\}\)，则 \(A\subseteq B\)
通分后易知，集合 \(A\) 的分子只能取奇数，而集合 \(B\) 的分子可以取全体整数。 -
已知集合 \(A=\{\alpha|2k\pi\leq\alpha\leq(2k+1)\pi,k\in\Z\},B=\{\alpha|-4\leq\alpha\leq4\},求 A\cap B=\{\alpha|0\leq\alpha\leq2或-4\leq\alpha\leq-\pi\}\)
容易验证，只在 \(k\) 取 \(0\) 或 \(-1\) 时可行
-
已知一扇形的圆心角为 \(α\)，半径为 \(R\)，弧度长 \(l\)
- 若 \(α =60^o,R=l0cm\) 则扇形的弧长 \(l=\dfrac{10\pi}3cm\)
- 己知 \(L\) 扇形的周长为 \(10cm\)。面积是 \(4cm\)。则扇形的圆心角大小为 \(\frac12\)
- 若扇形周长为 \(20cm\)，当扇形的圆心角 \(α=2\) 时，这个扇形的面积最大
[^ 1]:终边：射线转动停止的边。始边和终边相同的角可能是 x 倍周角，x 取 0 时即零角
1.2.1 任意角的三角函数
知识点
-
单位圆：在直角坐标系中，以 原点 \(O\) 为圆心，以 单位长度 为半径的圆称为单位圆
-
单位圆中任意角的三角函数的定义：
条件在平面直角坐标系中，设 \(α\) 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 \(P(x,y)\)，那么有结论：
- \(y\) 叫做 \(α\) 的正弦，记作 \(\sinα\)，即 \(\sinα＝y\)
- \(x\) 叫做 \(α\) 的余弦，记作 \(\cosα\)，即 \(\cosα＝x\)
- \(\dfrac yx\) 叫做 \(α\) 的正切，记作 \(\tanα\)，即 \(\tanα＝\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac yx\)
- \(\cot\alpha =\dfrac1{\tan\alpha}=\dfrac xy\)
（若不是单位圆，则除 \(\sqrt{x^2+y^2}\)）
-
小结：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
-
三角函数的定义域
三角函数 定义域 \(\sin\alpha\) \(\R\) \(\cos\alpha\) \(\R\) \(\tan\alpha\) \(\alpha\ne\dfrac\pi2+k\pi,k\in\Z\) -
三角函数值的符号
巧记三角函数值的符号
三角函数值的符号变化规律可概括为“一正二正弦三正切四余弦”．即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正
-
终边相同的角的同一三角函数的值
-
终边相同的角（\(\alpha=\beta+2k\pi\) ）的同一三角函数的值相同
-
公式：\(\sin(α＋2kπ)＝\sinα\quad\cos(α＋2k\pi)＝\cosα\quad\tan(α＋2k\pi)＝\tanα\) 其中 \(k\in\Z\)
-
\(2\pi\) 是正弦余弦正切的一个周期（不一定是最小）。
特殊角三角函数：
角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 0 \(\dfrac\pi 6\) \(\dfrac\pi 4\) \(\dfrac\pi 3\) \(\dfrac\pi 2\) \(\dfrac{2\pi}3\) \(\dfrac{3\pi}4\) \(\dfrac{5\pi}6\) \(\pi\) \(\sin\alpha\) 0 \(\dfrac12\) \(\dfrac{\sqrt2}2\) \(\dfrac{\sqrt3}2\) 1 \(\dfrac{\sqrt3}2\) \(\dfrac{\sqrt2}2\) \(\dfrac12\) 0 \(\cos\alpha\) 1 \(\dfrac{\sqrt3}2\) \(\dfrac{\sqrt2}2\) \(\dfrac12\) 0 \(-\dfrac12\) \(-\dfrac{\sqrt2}2\) \(-\dfrac{\sqrt3}2\) -1 \(\tan\alpha\) 0 $\dfrac{\sqrt3}3 $ 1 \(\sqrt3\) 无意义 \(-\sqrt3\) -1 $-\dfrac{\sqrt3}3 $ 0
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例题
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例1：
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若角 \(α\) 的终边经过点 \(P(5,-12)\)，则 \(\sinα＝-\dfrac{12}{13}\)，\(\cos α＝\dfrac{5}{13}\)，\(\tanα＝-\dfrac{12}5\)。
-
已知角 \(α\) 的终边落在直线 $\sqrt3x＋y＝0 $ 上，则 \(\sinα＝\)，\(\cosα＝\)，\(\tanα=\)。
（分情况讨论，正负性不同）
若终边落在第二象限，取 \(P(-1,\sqrt3),\sinα＝\dfrac{\sqrt3}2\)，\(\cosα＝-\frac12\)，\(\tanα=-\sqrt3\)
若终边落在第四象限，取 \(P(1,-\sqrt3),\sinα＝-\dfrac{\sqrt3}2\)，\(\cosα＝\frac12\)，\(\tanα=-\sqrt3\)
-
已知角 \(α\) 终边上一点 \(P (4a，－3a)(a≠0)\)，则 \(2\sin α＋\cos α=\)
\(\sqrt{(4a)^2+(-3a)^2}=|5a|\)
令 \(a=1，P(4,-3),\sin\alpha=-\frac35,\cos\alpha=\frac45\)
令 \(a=-1,P(-4,3),\sin\alpha=\frac35,\cos\alpha=-\frac45\)
\(\therefore 原式=\pm\frac25\)
-
-
例2：
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若 \(\sin α\tan α<0\)，且 \(\dfrac{\cos α}{\tan\alpha } <0\)，则角 \(α\) 是第三象限角
-
判断符号：
- \(\sin105^o·\cos230^o\) 符号为负
- \(\cos3·\tan(-\dfrac{2\pi}3)\) 符号为负
-
已知点 \(P(\tanα，\cosα)\) 在第三象限，则角 \(α\) 的终边在第二象限
正切小于0，余弦小于0，正弦大于0
-
-
例三：
-
\[\begin{align*}
\sin(－1395°)\cos 1110°＋\cos(－1 020°)·\sin 750°&=\sin45^o+\cos30^o+\cos60^o+\sin30^o\\
&=\dfrac{\sqrt2}2+\dfrac{\sqrt3}2+\frac12+\frac12\\
&=\dfrac{\sqrt6+1}4
\end{align*}\] -
\[\sin810°＋\cos 360°－\tan1125°=\sin90^o-1+\tan45^o=1-1+1=1
\]
能力提升：
-
已知角 \(α\) 的终边过点 \(P(－3m，4m)(m≠0)\) 求 \(\sinα、\cosα、\tan α\)
令 \(m=-1,P(3,-4),\sinα=-\frac45、\cosα=\frac35、\tan α=-\frac43\)
令 \(m=1,P(-3,4),\sinα=\frac45、\cosα=-\frac35、\tan α=-\frac43\)
-
已知角 \(α\) 的终边在直线 \(y=x\) 上，则 \(\sinα=\)
若终边落在第一象限，取 \(P(1,1),\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}2\)
若终边落在第三象限，取 \(P(-1,-1),\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt2}2\)
1.2.2 三角函数线
知识点：
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有向线段：一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看作带有方向，于是把它叫做有向线段。
-
三角函数线的作法
如图，设单位圆与 \(x\) 轴的正半轴交于点 \(A\)，与角 \(α\) 的终边交于点 \(P\)(角 \(α\) 的顶点与原点重合，角 \(α\) 的始边与 x 轴的非负半轴重合)．
过点 \(P\) 作 \(x\) 轴的垂线 \(PM\)，垂足为 \(M\)，过点 \(A\) 作单位圆的切线交 \(OP\) 的延长线(或反向延长线)于 \(T\) 点，
这样就有 \(\sinα＝MP\) ；\(\cosα＝OM\)，\(\tanα＝AT\).
单位圆中的有向线段 \(MP\)、\(OM\)、\(AT\) 分别叫做角 \(α\) 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
例题：（利用三角函数线比较大小）
-
- \(\sin\frac23π=MP>\sin\frac45π=NQ\)
- \(\tan\frac23π=AT_1<\tan\frac45π=AT_2\)
- \(\cos\frac23π=OM> \cos\frac45π=ON\)
-
设 \(α\) 是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：\(\sinα<α<\tanα\)
\(\sin\alpha=MP,\alpha=AP,\tan\alpha=AT\)
-
已知 \(α\) 是锐角，求证：\(1<\sinα＋\cosα<\dfrac π2\)
\(\sin\alpha=MP=y,\cos\alpha=OM=x\)
显然有 \(MP+OM>OP=1\)
\(S_{\Delta POA}=\frac12 AO·MP=\frac12y\)
\(S_{\Delta POB}=\frac12BO·NP=\frac12x\)
有：\(S_{\Delta POA}+S_{\Delta POB}=\dfrac12(x+y)<S_{扇形AOB}=\dfrac14\pi\)
1.2.2 同角三角函数的基本关系
知识点
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同角三角函数的关系
平方关系：\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) ；商数关系：\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(a\ne\dfrac{\pi}2+k\pi,k\in\Z)\)
；补充： \(\tan^2\alpha+1=\frac1{\cos^2\alpha}\) -
同角三角函数基本关系的变形
-
平方关系变形：
- \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\)
- \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\)
- \(1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\)
- \(\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha\)
- \(\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha\)
-
商数关系变形：
- \(\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha\)
- \(\cos\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}\)
-
例题
-
例1：
-
\(\alpha\) 是第四象限角，且 \(\tan\alpha=-2,\sin\alpha=,\cos\alpha=\)
\(\sin\alpha<0,\cos\alpha>0\)
\(\sin\alpha=-2\cos\alpha,\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
\(\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5},\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt2}5\) -
已知 \(\cos\alpha=-\dfrac{12}{13}\) 求：\(\sin\alpha=,\tan\alpha=\)
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\sin^2\alpha=1-(-\dfrac{12}{13})^2\)
\(\sin\alpha=\pm\dfrac{5}{13},\tan\alpha\) 分别为 \(-\dfrac5{12}\) 和 \(\dfrac5{12}\)
-
-
例2:已知 \(\tan\alpha=2\) ，计算：
-
\(\dfrac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{4\sin\alpha-9\cos\alpha}\)
分子分母同除 \(\cos\alpha\)
\(\therefore 原式=\dfrac{2\tan\alpha+3}{4\tan\alpha-9}=-7\) -
\(\dfrac{2\sin^2\alpha-3\cos^2\alpha}{4\sin^2\alpha-9\cos^2\alpha}\)
在分子分母同时除 \(\cos^2\alpha\)
\(\therefore 原式=\dfrac{2\tan^2\alpha-3}{4\tan^2\alpha+9}=\dfrac15\) -
\(\sin\alpha\cos\alpha\)
\(原式=\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\)
上式分子分母同时除以 \(\cos^2\alpha\)
\(=\dfrac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1}=\dfrac25\) -
\(4\sin^2\alpha-3\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha\)
\(原式=\dfrac{4\sin^2\alpha-3\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\dfrac{4\tan^2\alpha-3\tan\alpha-1}{\tan^2\alpha+1}=\dfrac95\)
-
变式：
- 已知 \(\sin\alpha+2\cos\alpha=\sqrt5,\tan\alpha=\)
- 已知 \(2\cos^2\alpha-3\sin\alpha\cos\alpha=\frac9{10},\tan\alpha=\)
- 已知 \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}5,\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\)
- 已知 \(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac12,\sin^3\alpha-\cos^3\alpha=\)
- 已知 \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac15,(0<\alpha<\pi),\sin\alpha-\cos\alpha=,\dfrac{2\sin x\cos x+2\sin^2x}{1-\tan x}=\)
-
化简下列各式：
- \(\dfrac{\sin760^o}{\sqrt{1-\cos^240^o}}\)
- \(\tan\alpha\sqrt{\frac1{\sin^2\alpha}-1}(\dfrac\pi2+2k\pi<\alpha<\pi+2k\pi,k\in\Z)\)
利用同角三角函数关系证明恒等式：
-
求证： \(\dfrac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
-
已知 \(\tan^2\alpha=2\tan^2\beta+1\) 求证： \(\sin^2\beta=2\sin^2\alpha-1\)
-
已知 \(\dfrac{\cos^4\alpha}{\cos^2\beta}+\dfrac{\sin^4\alpha}{\sin^2\beta}=1\) 求证： \(\dfrac{\cos^4\beta}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\sin^4\beta}{\sin^2\alpha}=1\)
1.3.1 诱导公式
公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等。
\(\sin (α+k·360°)=\sinα（k∈\Z）\)
\(\cos(α+k·360°)=\cosα（k∈Z）\)
\(\tan (α+k·360°)=\tanα（k∈Z）\)
公式二
\(π+α\) 的三角函数值与 \(α\) 的三角函数值之间的关系。
\(\sin（π+α）=-\sinα\)
\(\cos（π+α）=-\cosα\)
\(\tan（π+α）=\tanα\)
公式三
任意角 \(α\) 与 \(-α\) 的三角函数值之间的关系：
\(\sin（-α）=-\sinα\)
\(\cos（-α）=\cosα\)
\(\tan（-α）=-\tanα\)
公式四
利用公式二和公式三可以得到 \(π-α\) 与 \(α\) 的三角函数值之间的关系：
\(\sin（π-α）=\sinα\)
\(\cos（π-α）=-\cosα\)
\(\tan（π-α）=-\tanα\)
公式五
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
\(\sin（2π-α）=-\sinα\)
\(\cos（2π-α）=\cosα\)
\(\tan（2π-α）=-\tanα\)
公式六
\(π/2±α\) 及 \(3π/2±α\) 与 \(α\) 的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）
⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系
\(\sin（π/2+α）=\cosα\)
\(\cos（π/2+α）=-\sinα\)
\(\tan（π/2+α）=-\cotα\)
⒉ π/2-α与α的三角函数值之间的关系
\(\sin（π/2-α）=\cosα\)
\(\cos（π/2-α）=\sinα\)
\(\tan（π/2-α）=\cotα\)
⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系
\(\sin（3π/2+α）=-\cosα\)
\(\cos（3π/2+α）=\sinα\)
\(\tan（3π/2+α）=-\cotα\)
$⒋ 3π/2-α与α的三角函数值之间的关系
\(\sin（3π/2-α）=-\cosα\)
\(\cos（3π/2-α）=-\sinα\)
\(\tan（3π/2-α）=\cotα\)
总结
奇变偶不变，符号看象限
奇变偶不变（对 \(k\) 而言，指 \(k\) 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把 $α $看成是锐角）。
公式右边的符号为把 $α $ 视为锐角时，角 \(k·360°+α（k∈\Z），-α、180°±α，360°-α\) 所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。
例题
例一：计算\((1)sin315° -sin(-480 ^o)+cos(-330^o)\)
$ (2) sin585^o cos1290°+cos(-30°)sin210° + tan135°$
例二：\((1)己知\sin(\pi+α)=-\dfrac13,，求\cos(5\pi+α)的值\)
\(（2）已知\sin(\dfrac{\pi}3+a)=-\dfrac12，求sin(a-\dfrac{5\pi}3)的值\)
\(（3）己知\cos(\dfrac\pi6+α=\dfrac{sqrt3}3 ，求\cos(\dfrac{7\pi}6+α)的值\)
例三：化简:\((1)\dfrac{\cos(\pi+\alpha)\cos(3\pi -\alpha ) \tan(\pi+α)}{\sin(-\pi+\alpha)\cos(-\alpha-\pi)}\)
\(（2）\dfrac{\sin(1440°+ \alpha)-\cos(α -1080°)}{\cos(一180 – a ) -\sin(一α- 180°)}\)
例四：化简：\(（1）\dfrac{\tan(2\pi -\alpha)\sin(2\pi – \alpha)\cos(6\pi -\alpha)}{\sin(5\pi +\alpha)cos(-\alpha)}\)
\(（2）\dfrac{\sin^2(\pi + \alpha)\cos(\alpha+\pi)}{\cos(\pi – \alpha)\cos^3(-\alpha- \pi )\tan(-\alpha-2\pi)}\)
\(（3）\dfrac{\sin^2(540^o+\alpha)\cos(-\alpha)}{\tan(\alpha -180^o)}\)
例五：证明：\(（1）\dfrac{\tan(2\pi -\alpha )\sin(一2\pi- \alpha)\cos(6\pi-\alpha)}{\cos(α – \pi )\sin(5\pi -α)}=-\tan( a )\)
\(（2）\dfrac{\sin(α – 3\pi)+ \cos(\pi -α)}{\sin(一α)-\cos(α+ \pi)}=\dfrac{ \tan α +1}{ \tan α -1}\)
例六：（1）已知 \(\cos(\alpha-\dfrac\pi4)=\dfrac45\)，则 \(\sin(\alpha+\dfrac\pi4)\)=
（2）已知 \(\cos(\dfrac\pi6-\alpha)=m(|m|\le1)\),求 \(\sin(\dfrac{2\pi}3-\alpha)\) 的值
例七:\(在\Delta ABC中，若\sin(2\pi-A)=-\sqrt2\sin(\pi-B) , \sqrt3\cos A=-\sqrt2\cos(\pi-B)，求\Delta ABC的三个内角.\)
例八：
已知 \(\Delta ABC\) 中，已知 \(\sin(\dfrac{A+B-C}2)=\sin(\dfrac{A-B+C}2)\)，试判断 \(\Delta ABC\) 的形状.