一、快速傅里叶介绍

傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的余弦（或正弦）波信号的无限叠加。FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。那其在实际应用中，有哪些用途呢？

1.有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征（频率，幅值，初相位）；

2.FFT可以将一个信号的频谱提取出来，进行频谱分析，为后续滤波准备；

3.通过对一个系统的输入信号和输出信号进行快速傅里叶变换后，两者进行对比，对系统可以有一个初步认识。

假设采样频率Fs，信号频率F，信号长度L，采样点数N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。

具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？

1. 假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍，而第一个点就是直流分量（即0Hz），它的模值是直流分量的N倍；

2. 每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量，它的相位是该频率的初相位，matlab以cos为底的，若信号时正弦形式sin(t)，则变成cos(t-pi/2)即可。

采样频率Fs,被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。为了方便进行FFT运算，通常N取大于信号长度L的2的整数次方。

例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N。如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。

1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz。如果采样2秒时间的信号，则N为2048，并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。

如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，该复数的模就是An=sqrt（a*a+b*b），相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)；对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

二、例子

假设我们有一个信号，它含有5V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为7V的交流信号以及一个频率为90Hz、相位为90度、幅度为3V的交流信号。数学表达式为：

x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t – 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t – 90*pi/180)。

我们以128Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是0.5Hz。我们的信号有3个频率：0Hz、15Hz、40Hz

出于编程方便，因为直流分量的幅值A1/N，其他点幅值为An/(N/2)，故直流分量最后要除以2才是对的。

一般FFT所用数据点数N与原含有信号数据点数L相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。

三、Matlab代码

Fs = 128;       % 采样频率

T = 1/Fs;       % 采样时间

L = 256;        % 信号长度

t = (0:L-1)*T; % 时间

x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t – 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t – 90*pi/180);   %cos为底原始信号

y = x + randn(size(t));     %添加噪声

figure;

plot(t,y)

title(\’加噪声的信号\’)

xlabel(\’时间(s)\’)

N = 2^nextpow2(L); %采样点数，采样点数越大，分辨的频率越精确，N>=L，超出的部分信号补为0

Y = fft(y,N)/N*2;   %除以N乘以2才是真实幅值，N越大，幅值精度越高

f = Fs/N*(0:1:N-1); %频率

A = abs(Y);     %幅值

P = angle(Y);   %相值

figure;

subplot(211);plot(f(1:N/2),A(1:N/2));   %函数fft返回值的数据结构具有对称性,因此我们只取前一半

title(\’幅值频谱\’)

xlabel(\’频率(Hz)\’)

ylabel(\’幅值\’)

subplot(212);plot(f(1:N/2),P(1:N/2));

title(\’相位谱频\’)

xlabel(\’频率(Hz)\’)

ylabel(\’相位\’)

原始信号中x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t – 30*pi/180) + 3*cos(2*pi*40*t – 90*pi/180);

可以看到，幅值频谱中15Hz（与数学表达式中的15Hz对应），幅值7.063（与7对应），相位频谱中初相位-0.5072（与-30*pi/180对应）

幅值频谱中40Hz（与数学表达式中的40Hz对应），幅值3.082（与3对应），相位频谱中初相位-1.57（与-90*pi/180对应） 

下面验证Matlab中快速傅里叶变换是以cos为底的。

1.原始信号换为：x = 5 + 7*sin(2*pi*15*t – 30*pi/180) + 3*sin(2*pi*40*t – 90*pi/180);   %sin为底的原始信号

幅值频谱明显对应正确，只需验证相位频谱。由于sin(t + p1)=cos(t + p1 – pi/2)，故

-30*pi/180 – pi/2 = -2.0944,这与相位频谱中-2.093对应

-90*pi/180 – pi/2 = -3.1416,这与相位频谱中-3.057对应

若想提高结果的精度，可以提高信号长度L和采样点数N。

    2.原始信号若为x = 5 + 7*cos(2*pi*15*t – 30*pi/180) + 3*sin(2*pi*40*t – 90*pi/180);   %sin和cos为底的原始信号

同样验证正确。