矩阵和向量相乘
1.常见运算
转置（transpose）
是矩阵的重要操作之一。矩阵的转置是以对角线为轴的镜像，这条从左上角到右下角的对角线被称为主对角线（main diagonal）。
我们将矩阵 A 的转置表示为 A ⊤ ，定义如下
向量可以看作是只有一列的矩阵。对应地，向量的转置可以看作是只有一行的矩阵。
标量可以看作是只有一个元素的矩阵。因此，标量的转置等于它本身，a = a ⊤ 。
矩阵相加
矩阵的形状一样。
两个矩阵相加是指对应位置的元素相加，比如 C = A + B，其中 C i,j = A i,j + B i,j 。
标量和矩阵相乘
需将其与矩阵的每个元素相乘
比如 D = a · B + c，其中 D i,j = a · B i,j + c
矩阵和向量相加
向量 b 和矩阵A 的每一行相加
C = A + b，其中 C i,j = A i,j + b j
这种隐式地复制向量 b 到很多位置的方式，被称为广播（broadcasting）
矩阵乘法
两个矩阵 A 和 B 的矩阵乘积（matrix product）是第三个矩阵 C。为了使乘法定义良好，矩阵 A 的列数必须和矩阵 B 的行数相等。
如果矩阵 A 的形状是 m×n，矩阵 B 的形状是 n×p，那么矩阵C 的形状是 m×p。
我们可以通过将两个或多个矩阵并列放置以书写矩阵乘法，例如
C = AB
具体地，该乘法操作定义为
元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard 乘积（Hadamard product）
两个矩阵中对应元素的乘积
记为 A ⊙ B
矩阵
与
矩阵
的Hadamard积记为
。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积
的m×n矩阵 。
两个相同维数的向量 x 和 y 的点积（dot product）可看作是矩阵乘积 x ⊤ y
2.基本性质
分配律
A(B + C) = AB + AC
结合律
A(BC) = (AB)C
矩阵乘积并不满足交换律（AB = BA 的情况并非总是满足）
两个向量的点积（dot product）满足交换律
x ⊤ y = y ⊤ x
矩阵乘积的转置
(AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤
线性方程组
Ax = b
其中 A ∈ R m×n 是一个已知矩阵，b ∈ R m 是一个已知向量，x ∈ R n 是一个我们要求解的未知向量。
向量 x 的每一个元素 x i 都是未知的。矩阵 A 的每一行和 b 中对应的元素构成一个约束。
A 1,: x = b 1
A 2,: x = b 2
···
A m,: x = b m
也可以写成