特征向量和特征值

定义1：\(A\)为\(n\times n\)的矩阵，\(x\)为非零向量，若存在\(\lambda\)满足\(Ax=\lambda x\)，那么\(\lambda\)为该矩阵的特征值，\(x\)为其对应的特征向量。

警告：特征向量必须非零，但特征值可以为零；根据定义，特征向量也可以任意”拉伸”。

直观理解：当线性变换\(A\)作用于向量\(x\)时，\(x\)只进行了该方向上\(\lambda\)倍的拉伸。

例1：设\(A=\begin{bmatrix}1&6\\5&2\end{bmatrix}\)，那么对应于\(\lambda_1=-4\)的特征向量为\(\begin{bmatrix}6\\-5\end{bmatrix}\)，对应于\(\lambda_2=7\)的特征向量为\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。

不难发现，\(\lambda\)是\(A\)的特征值当且仅当方程\((A-\lambda I)x=0\)有非平凡解。

定理1：三角矩阵的主对角线的元素是其特征值。

简单说理：要使上面的方程有非平凡解，就应该使括号里的矩阵有线性相关的列（否则\(x\)向量就会取0），即对角线上至少有一个零元素，那么当\(\lambda\)取对角线上的某个值时会出现这样的情况。

推论：存在特征值为0，当且仅当\(A\)不可逆。

定理2：若特征值互不相同，那么特征向量线性无关。

定理3：\(A\)的所有特征值\(\lambda\)满足充要条件\(|A-\lambda I|=0\)。

例2：求\(A=\begin{bmatrix}2&3\\3&-6\end{bmatrix}\)的特征值。

\(|A-\lambda I|=\begin{bmatrix}2-\lambda&3\\3&-6-\lambda\end{bmatrix}=0\)即\((2-\lambda)(-6-\lambda)-9=0\)，得\(\lambda_1=3,\lambda_2=-7\)

定义2：矩阵\(A\)的特征多项式为\(P(\lambda)=|A-\lambda I|\)。

定理4：Calay-Hamiltion定理：\(P(A)=0\)。直观上是如此显然。但需要严谨证明。

相似性

定义3：我们称\(n\times n\)的方阵\(A\)相似于\(B\)，若存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，或等价地\(A=PBP^{-1}\)。显然，这是一个等价关系，记为\(A\sim B\)。

定理5：若\(A\sim B\)，那么它们有相同的特征多项式。

证明：设\(B=P^{-1}AP\)，那么\(B-\lambda I=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P=P^{-1}(AP-\lambda P)=P^{-1}(A-\lambda I)P\)。

因此，\(|B-\lambda I|=|P^{-1}(A-\lambda I)P|=|P^{-1}|\times|A-\lambda I|\times|P|=|A-\lambda I|\)

警告：特征多项式相同，矩阵不一定相似。（因为他们的大小甚至都会不一样！）

对角化

定义4：\(n\times n\)对角矩阵\(D\)形如\(\begin{bmatrix}a_1&0&\cdots&0\\0&a_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_n\end{bmatrix}\)。对于\(A\)，若存在可逆矩阵\(P\)和对角矩阵\(D\)，使得\(A=PDP^{-1}\)，称这个为\(A\)的对角化。

不难发现，\(D^k\)=\(\begin{bmatrix}a_1^k&0&\cdots&0\\0&a_2^k&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_n^k\end{bmatrix}\)，\(A^k=(PDP^{-1})^k=PD^kP^{-1}\)。

定理6：若\(A\)能对角化，当且仅当\(A\)有n个线性无关的特征向量（但并不要求特征值互不相同）。并且可以证明\(P\)的列向量分别是\(A\)的特征向量，\(D\)主对角线上的元素分别是对应于\(P\)中的特征向量的特征值。

例3：对角化\(A=\begin{bmatrix}1&3&3\\-3&-5&-3\\3&3&1\end{bmatrix}\)。

\(P(\lambda)=-\lambda^3-3\lambda^2+4=-(\lambda-1)(\lambda+2)^2=0\)（如果你差一个符号，当然也是没有问题的），特征值为1和-2。

对于\(\lambda=1\)，取特征向量\(v_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\)

对于\(\lambda=-2\)，由于它的重数是2，因此特征向量形如\(v=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}\\0\\1\end{bmatrix}\)，（把\(\lambda=2\)带入\((A-\lambda I)=0\)中可以看出来）。取\(v_2=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\)和\(v_3=\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\)。

经验证，这三个向量都是线性无关的。

因此，构造\(P=\begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{bmatrix}\)。

在上面计算中可以看到，若某个特征向量的重数是\(k\)，那么对应的矩阵的秩必须至多为\(m-k\)才能有解。

应用

1.求一个矩阵的特征多项式。

2.CF923E