1. 三维空间中的点

在三维空间P³中的一点(X, Y, Z)^T，它的齐次坐标为4元向量(X₁,X₂,X₃,X₄)^T，可归一化表示为((X, Y, Z, 1)^T，若X₄ = 0，则表示该点位于无限远处。

对三维空间P³上的点的投影变换，通过对齐次向量X左乘一个4×4非奇异矩阵H得到，即X\’ = HX. 其中变换矩阵H有15个自由度，外加一个任意比例因子。

2. 三维空间中的平面

与二维空间中直线的表示方法相似，三维空间中的平面可以用如下方程表示为

π₁X +π₂Y +π₃Z +π₄ = 0

因此平面的齐次表示为π = (π₁,π₂,π₃,π₄)^T，它有3个自由度。上式可简写为

π^TX = 0

这表示点 X = (X, Y, Z, 1)^T 位于平面π 上。

3. 平面的性质

三点决定一个平面。设有3个线性独立的点Xi, for i = 1,2, 3, 它们均位于一个平面 π 上，即满足π^TXi = 0。进行矩阵堆叠得到

于是平面 π 是这个3×4矩阵的零空间向量，可在任意比例尺度上，被唯一确定。

在平面空间P²中，两点决定一条直线，直线l 除了可以用零空间向量法求解之外，还可以通过两个齐次点的叉积 l = x × y 直接求得。在三维空间P³中，也可以用类似叉积的方法求解平面。

三个平面决定一点。设有3个线性独立的平面π_i, for i = 1,2, 3, 则它们的交点X可以由下式求得

点X 是这个3×4矩阵的零空间向量。这是平面空间P²中两线交于一点在三维空间P³中的推广。

投影变换。在点变换 X\’ = HX 下，平面的变换表示为：

π\’ =H^-Tπ

参数化。在平面π上的一点X可以写成

X = Mx

其中4×3矩阵M的各列是π^T的零空间，即π^T M = 0。而3元向量 x 表示X在二维空间P²上的投影，是对点X的参数化。

4. 三维空间中的直线

直线可以定义为两个点的连线，或两个平面的相交。一个三维空间中的点有3个自由度，两个点A和B的连线满足如下方程

可见，直线 l 是这个2×4 矩阵的零空间，它有4个自由度（因为3×4矩阵的零空间有3个自由度）。在空间P³中对一个自由度为4的对象的齐次表示是困难的，因为它是一个5元向量，而点和平面的齐次表示都是4元向量。有多种表示方法可以解决这个表达困难的问题。

直线的组合表示。三维空间中的直线可以直接用上述的2×4矩阵W来表示：

它包含两个点的组合，代表以这两点为基向量所张成的空间。该直线实际上是W的零空间。另一方面，W的零空间必定以两个线性独立的向量为基，假设这两个基向量分别为P和Q，则WP = 0, 进而 A^TP = B^T P =0，意味着 P 是包含点A和点B的一个平面。同样Q也是包含点A和点B的一个平面。故该直线是这两个平面的交集，从而，直线也可以表示为如下2×4矩阵：

它表示以两个平面为基向量所张成的空间。该直线实际上也是W*的零空间。

这种组合表示方式也可以推广到平面，例如，一个平面π也可以表示成一个点X和一条直线W的组合矩阵M，即

平面 π 就是矩阵M的零空间。矩阵M是一个3×4矩阵，因此它也可以看做是三个共面点的组合。

5. 三维空间中的二次曲面(quadrics and dual quadrics)

空间P³中的二次曲面由下式定义：

X^TQX = 0

其中Q是一个对称的4×4矩阵，它被用来代表二次曲面。

二次曲面的性质：

 (1) 一个quadric有9个自由度，外加一个比例因子。

 (2) 一个quadric由9个线性独立的点决定。

 (3) 一个quadric定义了一个点和一个平面之间的极化关系（类似于二维空间中一个conic定义了一个点和一条直线之间的极化关系）。点X相对于Q的极平面为：

π = QX

 (4) 平面π 与二次曲面Q相交于一个二次曲线C。

 (5) 在点的投影变换X\’ = HX下，一个quadric的变换则为

Q\’ = H^-TQH^-1

 (6) 一个quadric的对偶仍是一个quadric。在点的投影变换X\’ = HX下，一个dual quadric的变换则为

Q*\’ = HQ*H^T

可见，计算dual quadric的变换比point quadric的变换要容易。