使用matlab求解线性/非线性方程
使用matlab求解线性/非线性方程
使用matlab求解线性方程
Ax = B 形式 A ,B为矩阵
(1) A为非奇异矩阵时，既有唯一解时
共有三种方法求解：
example clear all A = [3 -9; 2 4]; b = [-42; 2]; % three methods x = inv(A)*b % good x = A\b % better x = linsolve(A,b) % best
https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/linsolve.html
syms a b c d e f
M = [a b;c d];
rhs = [e;f];
z = inv(M)*rhs
>> z = inv(M)*rhs
z =
(d*e)/(a*d - b*c) - (b*f)/(a*d - b*c)
(a*f)/(a*d - b*c) - (c*e)/(a*d - b*c)
>> z = M^-1*rhs
z =
(d*e)/(a*d - b*c) - (b*f)/(a*d - b*c)
(a*f)/(a*d - b*c) - (c*e)/(a*d - b*c)
>> z = linsolve(M,rhs)
z =
-(b*f - d*e)/(a*d - b*c)
(a*f - c*e)/(a*d - b*c)
>> M = [3 -9;2 4]
>> rhs = [-42;2];
>> z = inv(M)*rhs
z =
-5.0000
3.0000
>> z = M^-1*rhs
z =
-5.0000
3.0000
>> z = linsolve(M,rhs)
z =
-5
3
（2）A为奇异矩阵时，且A阵和[A,C]阵秩相同，则该方程有无数个解；
可以用 x = null(A); 先求出系统的齐次方程AX = 0的基础解系，然后再用 x0 = pinv(A)*B 求出方程的一个特解
然后得出系统的通解：X =a(1) * x(:,1) + a(2) * X(:,2) + ….. + a(n-m) * x(:,n-m) + x0;
A = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B = [1 3 2 6]\';
C = [A,B];[rank(A) rank(B)];
syms a1 a2 ;
Z = null(sym(A));
>> x0 = sym(pinv(A))*B;
>> X = a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 %求出方程的解析解
X =
2*a1 + 3*a2 + 125/131
96/131 - (7*a2)/2 - (5*a1)/2
a1 - 10/131
a2 - 39/131
>> A*X-B
ans =
0
0
0
0
此外，可以采用rref(C),C = [A,B];进行基本行变换，得出方程的解析解；
>> c = [A,B];D =rref(c)
D =
1.000000000000000 0 -2.000000000000000 -3.000000000000000 2.000000000000000
0 1.000000000000000 2.500000000000000 3.500000000000000 -0.500000000000000
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
(3)若A和[A,B]矩阵的秩不同，则原方程就没有解，只能用x = pinv(A)*B求出方程的最小二乘解；
使用matlab求非线性方程
Equations and systems solver – MATLAB solve (mathworks.com)
Solve system of nonlinear equations – MATLAB fsolve (mathworks.com)
求解代数方程的符号解。
S = solve(eqn1,eqn2,…,eqnM,var1,var2,…,varN)
eqn 是符号表达式，可以是方程或不等式。vars是指定未知变量的符号变量表示。
fsolve 用来解决多个变量的非线性方程组。
X = fsolve(FUN,X0,OPTIONS)
syms x y
>> sol = solve([x^2+y^2-20,y - x^2,x>0,y>0],[x,y])
sol =
包含以下字段的 struct:
x: [1×1 sym]
y: [1×1 sym]
>> sol.x
ans =
2
>> sol.y
ans =
4
还可以使用matlab函数或者匿名函数来描述方程
function F=myFunction(z) x = z(1); y = z(2); F(1)=x^2+y^2-20; F(2)=y - x^2; end
clear all z_G = [1; 1]; z = fsolve(@myFunction, z_G); disp(z)
匿名函数形式—–因为匿名函数标准形式为为针对自变量x,所以要都写成x变量的形式
>> f= @(x)[x(1).^2+x(2).^2-20;x(2) - x(1).^2];
>> X0 =[1;1];X= fsolve(f,X0)
X =
2.0000
4.0000
还可以设置求解精度，options
option =optimset;
option .TolX = 1e-20; option .TolFun = 1e-20;
x = fsolve(f,x0,option )