高等数学（完结版）
本文介绍高等数学
目录
函数
极限
导数
微分
不定积分
定积分
微分方程
多元函数微分法及其应用
二重积分
零散知识点
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基本概念
（1）设数集\(D \subset R\)，称映射\(f: D \to R\)为定义在D上的函数，通常简记为\(y=f(x), x \in D\)，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记做\(D_f\)，即\(D_f = D\)，函数值f(x)的所构成的集合称为函数f的值域，记做\(R_f\)，\(R_f = f(D) = \{y|y=f(x), x \in D\}\)
（2）构成函数的要数是定义域\(D_f\)和对应法则f，两者都相同函数才相同
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函数的基本表示方法
- 表格法
- 图形法，将函数表示成坐标平面上的点集 \(\{P(x,y)\;|\;y = f(x), x \in D\}\)
- 解析法（公式法）
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分段函数
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绝对值函数
\[y=|x|=\begin{cases}
-x,\quad x\lt0\\
x, \quad x\geq0
\end{cases}
\] -
符号函数
\[y=sgn x=\begin{cases}
-1,\quad x\lt0\\
0, \quad x=0 \\
1, \quad x\gt0
\end{cases}
\] -
取整函数
记做 [x]，表示不超过x的最大值，\([\pi]=3,[-\pi]=-4\)
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狄利克雷函数
\[D(x)=\begin{cases}
1,\quad x \in Q\\
0, \quad x \in Q^c
\end{cases}
\]任何正有理数都是它的周期，且不存在最小正周期
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函数的几种特性
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函数的有界性
（1）函数在数集X上有定义，如果存在数\(K_1\)，使得 \(f(x) \leq K_1\)对于任意\(x \in X\)都成立，那么函数在X上有上界
（2）如果存在\(K_2\)，使得\(f(x) \geq K_2\)对于任意\(x \in X\)都成立，那么函数在X上有下界
（3）如果存在\(M\)，使得\(|f(x)| \geq M\)对于任意\(x \in X\)都成立，那么函数在X上有界，如果这样的\(M\)不存在，则函数无界
（4）函数有界的充分必要条件，在X上既有上界又有下界
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函数的单调性
设函数\(f(x)\)的定义域D，区间\(I \subset D\)，如果对于区间\(I\)上任意两点\(x_1\)和\(x_2\)，当\(x_1 \lt x_2\)时，横有\(f(x_1) \gt f(x_2)\)，称函数在区间\(I\)上单调减少，如果对于区间\(I\)上任意两点\(x_1\)和\(x_2\)，当\(x_1 \lt x_2\)时，横有\(f(x_1) \lt f(x_2)\)，称函数在区间\(I\)上单调增加，单调增加和单调减少的函数都是单调函数
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函数的奇偶性
（1）设函数\(f(x)\)的定义域D关于原点对称，如果对于任意\(x \in D, f(-x) = f(x)\)恒成立，那么f(x)为偶函数<，如果对于任意\(x \in D, f(-x) = -f(x)\)恒成立，那么f(x)为奇函数
（2）偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称
（3）函数\(f(x)\)，必定是偶函数和奇函数的和，\(f(x) = \dfrac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\dfrac{1}{2}[f(x)-f(-x)]\)
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函数的周期性
设函数\(f(x)\)的定义域D，如果存在一个正数\(l\)，使得对于任意\(x \in D\), 有\((x \pm l) \in D\)且\(f(x+l)=f(x)\)恒成立，称f(x)为周期函数，\(l\)称为f(x)的周期，一般指最小正周期
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反函数
（1）对每个\(y \in f(D)\)，由\(y = f(x)\)可以唯一确定的\(x \in D\)，这样在\(f(D)\)上定义了一个函数，称为\(y = f(x)\)的反函数，记为\(x = f^{-1}(y)\)，一般描述成\(y = f^{-1}(x),x \in f(D)\)
（2）若直接函数\(y = f(x)\)是单调的，那么反函数\(y = f^{-1}(x)\)也是单调的并且单调性和原函数相同，并且关于\(y=f(x)\)对称
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复合函数
设函数\(y = f(u)\)定义域为\(D_f\)，函数\(u = g(x)\)定义域为\(D_g\)，值域为\(R_g\)并且\(R_g \subset D_f\)，函数\(y = f[g(x)], x \in D_g\)称为由函数\(y = f(u),u = g(x)\)构成的复合函数，变量u称为中间变量，简记为\((f\circ g)(x)=f[g(x)]\)
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隐函数
x和y之间的映射关系由方程\(F(x,y)=0\)确定，方程确定一个隐函数，此隐函数不一定能求出
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参数方程表示的函数
\(y\)与\(x\)之间的函数关系由参数方程确定
\[\begin{cases}
x = \varphi (t)\\
y = \psi (t)
\end{cases}
\] -
初等函数
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基本初等函数
（1）幂函数 \(y=x^\mu\)（\(\mu\in R\)是常数）
（2）指数函数 \(y=a^x\)（\(a\gt 0\)且\(a\neq 1\)）
（3）对数函数 \(y=log_ax\)（\(a\gt 0\)且\(a\neq 1\)，当\(a=e\)时，\(y=ln\;x\)）
（4）三角函数 \(y=sin\;x,y=cos\;x,y=tan\;x\)
（5）反三角函数 \(y=arcsin\;x,y=arccos\;x,y=arctan\;x\)
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初等函数
由常数和基本初等函数复合而成的函数叫做初等函数
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数列的极限
（1）设\(\{x_n\}\)为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式\(|x_n-a|<\varepsilon\)恒成立，那么就称常数a是数列\(\{x_n\}\)的极限，或者称收敛于a，记为\(\lim \limits_{x \to \infty} x_n=a\)，或者\(x_n \to a (n \to \infty)\)
（2）定义简写表达 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists\)正整数\(N\)，当\(n \gt N\)时，有\(|x_n – a| \lt \varepsilon\)
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收敛数列的性质
- 极限唯一性：如果数列\(\{x_n\}\)收敛，那么它的极限唯一
- 收敛数列的有界性：如果数列\(\{x_n\}\)收敛，那么数列\(\{x_n\}\)一定有界
- 收敛数列的保号性：如果\(\lim \limits_{x \to \infty} x_n=a\)，且\(a \gt 0\)（或\(a \lt 0\)），那么存在正整数N，当 \(n \gt N\)时，都有 \(x_n \gt 0\)（或\(x_n \lt 0\)）
- 推论：如果数列\(\{x_n\}\)从某项起有\(x_n \geq 0\)（或者\(x_n \leq 0\)），且\(\lim \limits_{x \to \infty} x_n=a\)，那么\(a \geq 0\)（或\(a \leq 0\)）
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函数的极限
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趋于某一点的极限
（1）设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正数\(\sigma\)，使得当x满足不等式 \(0 \lt |x-x_0| \lt \sigma\)，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(|f(x)-A| \lt \varepsilon\)，那么常数A就叫做函数，\(f(x)\)当\(x \to x_0\)时的极限，记做\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\) 或者 \(f(x) \to A\)（当\(x \to x_0\)）
（2）定义简写表达 \(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists \sigma \gt 0\)，当\(0 \lt |x-x_0| \lt \sigma\)时，有\(|f(x)-A| \lt \varepsilon\)
（3）单侧极限：左极限\(\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A\)，右极限\(\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = A\)
（4）函数极限存在的充分必要条件：左极限和右极限都存在并且相等，\(f(x_0^-)=f(x_0^+)\)
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趋于无穷的极限
（1）设函数\(f(x)\)当\(|x|\)大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正数\(X\)，使得当x满足不等式\(|x|>X\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(|f(x)-A| \lt \varepsilon\)，那么常数A就叫做函数\(f(x)\)当\(x \to \infty\)时的极限，记作\(\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A\) 或者 \(f(x) \to A\)（当\(x \to \infty\)）
（2）定义简写表达 \(\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists X \gt 0\)，当\(|x| \gt X\)时，有\(|f(x)-A| \lt \varepsilon\)
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函数极限的性质
- 函数极限的唯一性：如果\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)存在，那么这个极限唯一
- 函数极限的局部有界性：如果\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\)，那么存在常数\(M \gt 0\)和\(\sigma \gt 0\)，使得当\(0 \lt |x-x_0| \lt \sigma\)时，有\(|f(x)| \leq M\)
- 函数极限的局部保号性，如果\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\)且\(A \gt 0\)（或\(A \lt 0\)），那么存在常数\(\sigma \gt 0\)，使得当\(0 \lt |x-x_0| \lt \sigma\)，有\(f(x) \gt 0\)（或\(f(x) \lt 0\)）
- 推论：如果\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A (A \neq 0)\)，当\(x\;\varepsilon\;\mathring U (x_0)\)，有\(|f(x)|>\dfrac{|A|}{2}\)
- 推论：如果在\(\mathring U (x_0)\)内\(f(x) \geq 0\)（或\(f(x) \leq 0\)），且\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\)，那么\(A \geq 0\)（或\(A \leq 0\)）
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无穷小和无穷大
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无穷小
（1）如果函数\(f(x)\)当\(x \to x_0\)（或\(x \to \infty\)）时的极限为零，那么称函数\(f(x)\)为当\(x \to x_0\)（或\(x \to \infty\)）时的无穷小，
（2）在自变量的同一变化过程\(x \to x_0\)（或\(x \to \infty\)）中，函数\(f(x)\)具有极限\(A\)的充分必要条件是\(f(x)=A + \alpha\)，其中\(\alpha\)是无穷小
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无穷大
（1）设函数\(f(x)\)在\(\mathring U (x_0)\)内有定义（或\(|x|\)大于某一正数时有定义），如果对于给定的任意正数\(M\)（无论多大），总存在正数\(\delta\)（或正数X），只要\(x\)适合不等式\(0 \lt |x-x_0| \lt \delta\)（或\(|x| > X\)），对应的函数值\(f(x)\)，总满足不等式\(|f(x)| > M\),那么称函数\(f(x)\)是当\(x \to x_0\)（或\(x \to \infty\)）时的无穷大，记做\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty\)（或\(\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \infty\)）
（2）在自变量的同一变化过程中，如果\(f(x)\)为无穷大，那么\(\dfrac{1}{f(x)}\)为无穷小；反之，如果\(f(x)\)为无穷小且不为零，那么\(\dfrac{1}{f(x)}\)为无穷大
（3）因为无界的定义中要求在\(0 \lt |x-x_0| \lt \delta\)只要有一个点大于任何一个数就无界，所以无穷大一定无界，无界不一定无穷大
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极限运算法则
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两个无穷小的和是无穷小
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有界函数与无穷小的乘积是无穷小
（1）推论1：常数个无穷小的乘积是无穷小
（2）推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小.例子：\(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{sinx}{x}=0\)
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如果\(limf(x) = A, limg(x) = B\)，有如下成立
（1）\(lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)=A\pm B\)
（2）\(lim[f(x)\bullet g(x)]=limf(x)\bullet limg(x)=A\bullet B\)
（3）\(lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{limf(x)}{limg(x)}=\dfrac{A}{B}\)，\(B \neq 0\)
（4）推论：\(lim[cf(x)] = climf(x)\)，c为常数
（5）推论：\(lim[f(x)]^n = [limf(x)]^n\)，n为常数
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数列\(\{x_n\},\{y_n\}\)，如果\(\lim \limits_{x \to \infty} x_n = A, \lim \limits_{x \to \infty} y_n = B\)，那么
（1）\(\lim \limits_{x \to \infty} (x_n\pm y_n) = A\pm B\)
（2）\(\lim \limits_{x \to \infty} (x_n\bullet y_n) = A\bullet B\)
（3）\(\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x_n}{y_n} = \dfrac{A}{B}\)，\(y_n \neq 0, B \neq 0\)
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如果\(\varphi(x) \geq \psi(x)\)，而\(\lim \varphi(x) = A, \lim \psi(x) = B\)，那么\(A \geq B\)
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复合函数的极限运算法则
设函数\(y=f[g(x)]\)在\(\mathring U (x_0)\)上有定义，由函数\(u=g(x),y=f(u)\)复合而成，若\(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0, \lim \limits_{u \to u_0} f(u) = A\)，且存在\(\delta_0 \gt 0\)，当\(x \in \mathring U (x_0, \delta_0)\)时，有
\(g(x) \neq u_0\)，则\(\lim \limits_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim \limits_{u \to u_0} f[u] = A\)
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极限存在的准则和两个重要极限
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夹逼准则
（1）如果数列\(\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}\)满足，\(\exists n_0 \in N_+\)，当\(n \gt n_0\)时，有\(y_n \leq x_n \leq z_n\)并且\(\lim \limits_{n \to \infty} y_n = a, \lim \limits_{n \to \infty} z_n = a\)则，\(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a\)
（2）如果当\(x \in \mathring U (x_0, r)\)（或\(|x|>M\)）时，\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)并且\(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = A\)（或\(\lim \limits_{x \to \infty} g(x) = A\)）, \(\lim \limits_{x \to x_0} h(x) = A\)（或\(\lim \limits_{x \to \infty} h(x) = A\)）则，\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A\)（或\(\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A\)）
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单调有界准则
（1）单调有界数列必有极限
（2）设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某个左邻域内单调并且有界，则\(f(x)\)在\(x_0\)的左极限\(f(x_0^-)\)必定存在
（3）柯西极限存在准则（柯西审敛原理）：数列收敛的充分必要条件，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，存在正整数\(N\)，使得当\(m \gt N, n \gt N\)时，有\(|x_n – x_m| < \varepsilon\)
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两个重要极限
（1）\(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x} = 1\)
（2）\(\lim \limits_{x \to \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^x = e\)，由复合函数的极限可得，\(\lim \limits_{z \to 0} (1 + z)^\frac{1}{z} = e\)
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无穷小的比较
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基本概念
（1）如果\(lim \dfrac{\beta}{\alpha} = 0\)，那么\(\beta\)是比\(\alpha\)高阶的无穷小，记做\(\beta=o(\alpha)\)
（2）如果\(lim \dfrac{\beta}{\alpha} = \infty\)，那么\(\beta\)是比\(\alpha\)低阶的无穷小
（3）如果\(lim \dfrac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\)，那么\(\beta\)与\(\alpha\)是同阶无穷小
（4）如果\(lim \dfrac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0, k \gt 0\)，那么\(\beta\)是\(\alpha\)的\(k\)阶无穷小
（5）如果\(lim \dfrac{\beta}{\alpha} = 1\)，那么\(\beta\)与\(\alpha\)是等价无穷小，记做\(\beta \sim \alpha\)
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等价无穷小的性质
（1）\(\beta\)与\(\alpha\)是等价无穷小的充分必要条件为\(\beta=\alpha+o(\alpha)\)
（2）常见的等价无穷小 \(x \rightarrow 0,sinx \sim x, tanx \sim x, arcsinx \sim x, ln(1+x) \sim x, arctanx \sim x,1-cosx \sim \dfrac{1}{2}x^2, e^x-1 \sim x, (1+x)^a-1 \sim ax, x-sinx \sim \dfrac{1}{6}x^3, sinx – sin(sinx) \sim \dfrac{1}{6}x^3, arcsinx-x \sim \dfrac{1}{6}x^3, x-tanx \sim -\dfrac{1}{3}x^3, arctanx-x \sim -\dfrac{1}{3}x^3, x-ln(1+x) \sim \dfrac{1}{2}x^2, a^x-1 \sim xlna;x \rightarrow 1, lnx \sim x – 1\)，这些等价无穷小之间的相互组合可以得到更多的等价无穷小
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等价无穷小替换求极限
设\(\alpha \sim \tilde \alpha, \beta \sim \tilde \beta\)，且\(lim \dfrac{\tilde \beta}{\tilde \alpha}\)存在，则\(lim \dfrac{\beta}{\alpha} = lim \dfrac{\tilde \beta}{\tilde \alpha}\)
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函数的连续性
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连续的概念
（1）设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果\(\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim \limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)] = 0\)，那么就称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)连续
（2）设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)，那么就称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)连续，在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数
（3）\(f(x)\)在点\(x_0\)连续\(\Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists \sigma \gt 0\)，当\(|x-x_0| \lt \sigma\)时，有\(|f(x)-f(x_0)| \lt \varepsilon\)
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单侧连续
（1）\(\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0^-)\)存在且等于\(f(x_0)\)，即\(f(x_0^-)=f(x_0)\)，称\(f(x)\)在点\(x_0\)左连续
（2）\(\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0^+)\)存在且等于\(f(x_0)\)，即\(f(x_0^+)=f(x_0)\)，称\(f(x)\)在点\(x_0\)右连续
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函数的间断点
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定义
设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某去心邻域内有定义，满足下列情形之一的称点\(x_0\)为函数的不连续点或间断点
（1）在\(x=x_0\)没有定义
（2）在\(x=x_0\)有定义，但\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)不存在
（3）在\(x=x_0\)有定义，\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)存在，但\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\)
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间断点分类
（1）第一类间断点，左极限\(f(x_0^-)\)和右极限\(f(x_0^+)\)都存在的间断点
** 可去间断点：左极限\(f(x_0^-)\)和右极限\(f(x_0^+)\)都存在，并且相等
** 跳跃间断点：左极限\(f(x_0^-)\)和右极限\(f(x_0^+)\)都存在，但是不等
（2）第二类间断点，除了第一类间断点外都是第二类间断点.
** 无穷间断点：左极限\(f(x_0^-)\)和右极限\(f(x_0^+)\)都不存在，如\(\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} tanx = \infty\)
** 震荡间断点：极限\(\lim \limits_{x \to x_0} f(x)\)在确定的函数值之间变动无限次，如\(\lim \limits_{x \to 0} sin \frac{1}{x}\)
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连续函数的运算
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连续函数的和，差，积，商的连续性
设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在点\(x_0\)连续，则他们之间的四则运算在点\(x_0\)也是连续的
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反函数的连续性
如果函数\(y=f(x)\)在区间\(I_x\)上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数\(x=f^{-1}(y)\)也在对应的区间\(I_y=\{y|y=f(x), x \in I_x\}\)上单调增加（或单调减少）且连续
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复合函数的连续性
（1）设函数\(y=f[g(x)]\)由函数\(u=g(x)\)与函数\(y=f(u)\)复合而成，\(\mathring U(x_0) \subset D_{f\circ g}\)，若\(\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0\)，而函数\(y=f(u)\)在\(u=u_0\)连续，则\(\lim \limits_{x \to x_0} y=f[g(x)] = \lim \limits_{x \to x_0} f(u) = f(u_0)\)
（2）设函数\(y=f[g(x)]\)由函数\(u=g(x)\)与函数\(y=f(u)\)复合而成，\(\mathring U(x_0) \subset D_{f\circ g}\)，若函数\(u=g(x)\)在\(x=x_0\)连续，且\(g(x_0)=u_0\)，而函数\(y=f(u)\)在\(u=u_0\)连续，则复合函数\(y=f[g(x)]\)在\(x=x_0\)也连续
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初等函数的连续性
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基本初等函数在定义域内都是连续的
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一切初等函数在定义域内都是连续的
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闭区间上连续函数的性质
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有界性与最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取到它的最大值和最小值
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零点定理
设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\)与\(f(b)\)异号（即\(f(a)\bullet f(b) \lt 0\)），则在开区间\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使\(f(\xi) = 0\)
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介值定理
（1）设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且在这区间的端点取不同的函数值\(f(a)=A\)及\(f(b)=B\)，则对于\(A\)与\(B\)之间的任意一个数\(C\)，在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=C (a \lt \xi \lt b)\)
（2）推论：设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，值域为\([m, M]\)，则m和M为\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值和最大值
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导数定义
（1）设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某个邻域内有定义，当自变量\(x\)在\(x_0\)处取得增量\(\Delta x\)，相应地，因变量取得增量\(\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)，如果\(\Delta y\)与\(\Delta x\)之比当\(\Delta x \to 0\)时的极限存在，那么称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导，并称这个极限为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数，记为\(f\'(x_0)\)，即\(f\'(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}\)，也可以记做 \(y\’|_{x=x_0}, \dfrac {dy}{dx} |_{x=x_0}, \dfrac {df(x)}{dx} |_{x=x_0}\)
（2）如果函数在开区间内每一点都可导，这样就构成了导函数，记做 \(y\’, f\'(x), \dfrac {dy}{dx}, \dfrac {df(x)}{dx}\)，导函数定义式\(f\'(x)=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}\)
（3）\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导的充分必要条件是左导数\(f\’_-(x_0)\)和右导数\(f\’_+(x_0)\)都存在且相等，即\(f\’_-(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0^-} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x} = f\’_+(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0^+} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}\)
（4）如果函数\(f(x)\)在开区间\((a, b)\)内可导，且\(f\’_+(a)\)及\(f\’_-(b)\)都存在，那么就说\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上可导
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导数的几何意义
（1）函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的导数\(f\'(x_0)\)在几何上表示曲线\(y=f(x)\)在点\(M(x_0, f(x_0))\)处的切线斜率
（2）过切点\(M(x_0, f(x_0))\)且与切线垂直的直线为点\(M\)处的法线，法线斜率为\(-\dfrac{1}{f\'(x_0)}\),法线方程为\(y-y_0=-\dfrac{1}{f\'(x_0)}(x-x_0)\)
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可导的一些结论
（1）奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数
（2）\(f(x)\)可导且以\(T\)为周期，则\(f\'(x)\)也以\(T\)为周期
（3）\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，\(g(x)\)在\(x=x_0\)处连续但不可导，则\(f(x)g(x)\)在\(x=x_0\)处可导的冲要条件是\(f(x_0)=0\)
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函数可导性与连续性的关系
（1）如果函数\(y=f(x)\)在点\(x\)处可导，那么函数在该点必连续
（2）如果函数\(y=f(x)\)在点\(x\)处连续，那么函数在该点不一定可导
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函数的求导法则
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函数的和、差、积、商的求导法则
如果函数\(u=u(x)\)及\(v=v(x)\)都在点\(x\)具有导数，那么它们的和，差，积，商（分母不为0）都在点\(x\)具有导数，且
（1）\([u(x)\pm v(x)]\’ = u\'(x) \pm v\'(x)\)
（2）\([Cu(x)]\’ = Cu\'(x)\)
（3）\([u(x)v(x)]\’ = u\'(x)v(x) + u(x)v\'(x)\)
（4）\([\dfrac{u(x)}{v(x)}]\’ = \dfrac{u\'(x)v(x) – u(x)v\'(x)}{v^2(x)}\)（\(v(x) \neq 0\)）
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反函数的求导法则
如果函数\(x=f(y)\)在区间\(I_y\)内单调、可导且\(f\'(y) \neq 0\)，那么它的反函数\(y=f^{-1}(x)\)在区间，\(I_x = \{x|x=f(y), y \in I_y\}\)内也可导，且\([f^{-1}(x)]\’=\dfrac {1}{f\'(y)}\)或\(\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {1}{\dfrac {dx}{dy}}\)
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复合函数的求导法则
如果\(u=g(x)\)在点\(x\)可导，而\(y=f(u)\)在点\(u=g(x)\)可导，那么复合函数\(y=f[g(x)]\)在点\(x\)可导，且其导数为，\(\dfrac{dy}{dx}=f\'(u)\bullet g\'(x)\)或\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\bullet \dfrac{du}{dx}\)
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幂指函数的求导法则
\(y=f(x)^{g(x)},f(x) \gt 0\)其中\(f(x),g(x)\)可导，可以令\(y=e^{g(x)lnf(x)}\)或者\(lny=g(x)lnf(x)\)求\(y\’\)
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常数和基本初等函数的导数公式
（1）\((C)\’=0\)
（2）\((x^\mu)\’=\mu x^{\mu-1}\)
（3）\((sin\;x)\’=cos\;x\)
（4）\((cos\;x)\’=-sin\;x\)
（5）\((tan\;x)\’= \dfrac{1}{cos^2\;x} =sec^2\;x\)
（6）\((cot\;x)\’= -\dfrac{1}{sin^2\;x} =-csc^2\;x\)
（7）\((sec\;x)\’=sec\;xtan\;x\)
（8）\((csc\;x)\’=-csc\;xcot\;x\)
（9）\((a^x)\’=a^xln\;a\;(a\gt 0,a\neq 1)\)
（10）\((e^x)\’=e^x\)
（11）\((log_ax)\’=\dfrac{1}{xln\;a}\;(a \gt 0, a\neq 1)\)
（12）\((ln\; x)\’=\dfrac{1}{x}\)
（13）\((arcsin\; x)\’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
（14）\((arccos\; x)\’=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
（15）\((arctan\; x)\’=\dfrac{1}{1+x^2}\)
（16）\((arccot\; x)\’=-\dfrac{1}{1+x^2}\)
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高阶导数
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函数\(y=f(x)\)具有\(n\)阶导数，记做\(\dfrac{d^ny}{dx^n}\)
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牛顿莱布尼兹公式：\((uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^nC^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}\)（\(C^k_n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)）
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常用的\(n\)阶导数
（1）\((e^x)^{(n)}=e^x\)
（2）\((sinkx)^{(n)}=k^nsin(kx+\dfrac{n\pi}{2})\)
（3）\((coskx)^{(n)}=k^ncos(kx+\dfrac{n\pi}{2})\)
（4）\((ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\)
（5）\((\dfrac{1}{x+a})^{n}=(-1)^n\dfrac{n!}{(x+a)^{n+1}}\)
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由参数方程确定的函数的导数
参数方程
\[\begin{cases}
x = \varphi (t)\\
y = \psi (t)
\end{cases}
\]有\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\bullet \dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\bullet \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\psi\’ (t)}{\varphi\’ (t)}\)
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微分的定义
（1）设函数\(y=f(x)\)在某区间内有定义，\(x_0\)及\(x_0+\Delta x\)在这区间内，如果函数的增量\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)，可表示为\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)，其中\(A\)是不依赖于\(\Delta x\)的常数，那么称函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)是可微的，而\(A\Delta x\)叫做函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)相应于自变量增量\(\Delta x\)的微分，记做\(dy\)，即\(dy=A\Delta x\)
（2）函数\(f(x)\)在点\(x_0\)可微的充分必要条件是函数\(f(x)\)在点\(x_0\)可导，并且\(dy=f\'(x_0)\Delta x\)
（3）\(\Delta y = dy + o(dy)\)，其中\(dy\)是\(\Delta y\)的主部，通常将\(\Delta x\)称为自变量的微分，记做\(dx\)，于是函数\(y=f(x)\)的微分记作\(dy=f\'(x)dx\)，导数也叫作微商
（4）微分形式不变性，无论\(u\)是自变量还是中间变量，微分形式\(dy=f\'(u)du\)保持不变
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微分的几何意义
若\(f(x)\)在点\(x=x_0\)处可微，则在点\((x_0,f(x_0))\)附近可以用切线\(y-y_0=f\'(x_0)(x-x_0)\)近似代替曲线\(f(x)\)，也就是局部的以直带曲
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可导，可微，连续的关系
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微分中值定理
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费马引理
设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)内有定义，并且在点\(x_0\)处可导，如果对任意的\(x \in U(x_0)\)，有\(f(x) \leq f(x_0)\)（或\(f(x) \geq f(x_0)\)），那么\(f\'(x_0)=0\)（导数为零的点称为函数的驻点）
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罗尔定理
如果函数\(f(x)\)满足：在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，在区间端点处的函数值相等，即\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi(a \lt \xi \lt b)\)，使得\(f\'(\xi)=0\)
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拉格朗日中值定理
（1）如果函数\(f(x)\)满足：在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi(a \lt \xi \lt b)\)，使等式\(f(b)-f(a)=f\'(\xi)(b-a)\)成立
（2）定理变体形式，令\(\theta=\dfrac{\xi-a}{b-a}\)，则拉格朗日中值定理写成\(f(b)-f(a)=f\'(a+\theta(b-a))(b-a), 0 \lt \theta \lt 1\)
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拉格朗日中值定理的应用
（1）如果函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，\(I\)内可导且导数恒为零，那么\(f(x)\)在区间\(I\)上是一个常数
（2）利用拉格朗日定理可以方便的求极限，将两个式子相减看成同一个函数的\(a,b\)
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柯西中值定理
如果函数\(f(x)\)及\(F(x)\)满足：在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，对任一\(x \in (a,b), F\'(x) \neq 0\)，那么在\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使等式\(\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f\'(\xi)}{F\'(\xi)}\)成立
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洛必达法则
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未定式
\(lim \dfrac{f(x)}{F(x)}\)满足\(\dfrac{0}{0}\)或者\(\dfrac{\infty}{\infty}\)，这种极限叫做未定式，不能使用极限运算法则求解
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设：当\(x \to a\)时，函数\(f(x)\)及\(F(x)\)都趋于零，在点\(a\)的某去心邻域内，\(f\'(x)\)及\(F\'(x)\)都存在且\(F\'(x) \neq 0\)，\(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f\'(x)}{F\'(x)}\)存在（或为无穷大），则\(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f\'(x)}{F\'(x)}\)
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设：当\(x \to \infty\)时，函数\(f(x)\)及\(F(x)\)都趋于零，当\(|x| \gt N\)时，\(f\'(x)\)及\(F\'(x)\)都存在且\(F\'(x) \neq 0\)，\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\'(x)}{F\'(x)}\)存在（或为无穷大），则\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\'(x)}{F\'(x)}\)
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注意
（1）当\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f\'(x)}{F\'(x)}\)不存在时，\(\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{F(x)}\)仍可能存在
（2）广义洛必达法则：\(\dfrac{\infty}{\infty}\)型的极限，只要分母是\(\infty\)即可
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泰勒公式
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带佩亚诺余项的泰勒展开式
（1）如果函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有\(n\)阶导数，那么存在\(x_0\)的一个邻域，对于该邻域内的任一\(x\)，有\(f(x)=f(x_0)+f\'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f^{\’\’}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\dfrac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)，其中\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)称为佩亚诺余项
（2）如果取\(x_0=0\)那么上式为，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，\(f(x)=f(0)+f\'(0)x+…+\dfrac{f^n(0)}{n!}x^n+o(x^n)\)
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带拉格朗日余项的泰勒展开式
（1）如果函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某个邻域\(U(x_0)\)内具有\((n+1)\)阶导数，那么对任一\(x \in U(x_0)\)，有\(f(x)=f(x_0)+f\'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f^{\’\’}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\dfrac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)，其中\(R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)，称为拉格朗日余项，这里的\(\xi\)是\(x_0\)与\(x\)之间的某个值，当n等于零，此带有拉格朗日余项的\(n\)阶泰勒公式，就成了拉格朗日中值公式
（2）如果取\(x_0=0\)那么上式为，带有拉格朗日余项的麦克劳林公式，\(f(x)=f(0)+f\'(0)x+…+\dfrac{f^n(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\;\;(0\lt \xi \lt x)\)
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初等函数常用泰勒展开式（\(x_0 \to 0\)）
- \(e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+o(x^3)\)
- \(sinx=x-\dfrac{1}{3!}x^3+o(x^3)\)
- \(cosx=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+o(x^4)\)
- \(ln(1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^2)\)
- \((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\)
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函数单调性与曲线的凹凸性
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函数单调性判定法
（1）设函数\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，如果在\((a,b)\)内\(f\'(x) \geq 0\)，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上单调增加，如果在\((a,b)\)内\(f\'(x) \leq 0\)，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上单调减少
（2）用函数的驻点和导数不存在的点来划分函数\(f(x)\)的定义区间，就可以得到函数在每个部分区间的单调性
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曲线的凹凸性
设\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，如果对\(I\)上任意两点\(x_1,x_2\)，恒有\(f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) \lt \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)那么称\(f(x)\)在\(I\)上的图形是（向上）凹的（或凹弧），恒有\(f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) \gt \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)那么称\(f(x)\)在\(I\)上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
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曲线的拐点
曲线\(y=f(x)\)在经过点\((x_0,f(x_0))\)时凹凸性改变了，那么就称点\((x_0,f(x_0))\)为曲线的拐点
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曲线拐点的判定法则（二阶导）
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内具有一阶和二阶导数，那么，若在\((a,b)\)内\(f{\’\’}(x) \gt 0\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上的图形是凹的，若在\((a,b)\)内\(f{\’\’}(x) \lt 0\)，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上的图形是凸的
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曲线拐点的判定法则（三阶导）
设\(f(x)\)在\(x_0\)处三阶可导，且\(f^{\’\’}(x_0) = 0, f^{\’\’\’}(x_0) \neq 0\)，则\((x_0,f(x_0))\)为曲线的拐点
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曲线拐点的判定法则（\(n\)阶导）
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处\(n\)阶可导，且\(f\'(x_0)=f\’\'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0), f^{(n)}(x_0) \neq 0\)，其中\(n\)是奇数，则\((x_0,f(x_0))\)是拐点
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求解拐点的步骤
（1）求\(f{\’\’}(x)\)
（2）令\(f{\’\’}(x)=0\)，解出方程在区间\(I\)内的实根，并求出在区间\(I\)内\(f{\’\’}(x)\)不存在的点
（3）检查上面求出的实根和二阶导不存在的点\(x_0\)，\(f{\’\’}(x)\)在\(x_0\)左右邻近的符号，如果相反则是拐点，否则不是
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函数的极值与最大值最小值
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函数极值
（1）设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)内有定义，如果对于去心邻域\(\mathring U (x_0)\)内任一\(x\)，有\(f(x) \lt f(x_0)\)（或\(f(x) \gt f(x_0)\)）那么就称\(f(x_0)\)是函数\(f(x)\)的一个极大值（或极小值）
（2）设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，且在\(x_0\)处取得极值，则\(f\'(x_0)=0\)
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极值的判定法则（一阶导）
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，且在\(x_0\)的某去心邻域\(\mathring U (x_0, \delta)\)内可导
（1）若\(x \in (x_0-\delta, x_0)\)时，\(f\'(x) \gt 0\)，而\(x \in (x_0, x_0+\delta)\)时，\(f\'(x) \lt 0\)，则\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极大值
（2）若\(x \in (x_0-\delta, x_0)\)时，\(f\'(x) \lt 0\)，而\(x \in (x_0, x_0+\delta)\)时，\(f\'(x) \gt 0\)，则\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极小值
（3）若\(x \in \mathring U (x_0, \delta)\)时，\(f\'(x)\)的符号保持不变，则\(f(x)\)在\(x_0\)处没有极值
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极值的判定法则（二阶导）
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有二阶导数且\(f\'(x_0)=0\)，\(f{\’\’}(x_0) \neq 0\)，则
（1）当\(f{\’\’}(x_0) \lt 0\)，函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极大值
（2）当\(f{\’\’}(x_0) \gt 0\)，函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处取得极小值
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极值的判定法则（\(n\)阶导）
设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处\(n\)阶可导，且\(f\'(x_0)=f\’\'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0), f^{(n)}(x_0) \neq 0\)，其中\(n\)是偶数，则
（1）若\(f^{(n)}(x_0) \lt 0\)，则\(x_0\)是极大值点
（2）若\(f^{(n)}(x_0) \gt 0\)，则\(x_0\)是极小值点
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函数极值求解步骤
（1）求出导数\(f\'(x)\)
（2）求出\(f(x)\)的全部驻点和不可导点
（3）考察\(f\'(x)\)的符号在每个驻点和不可导点的左、右邻近的情形，判断是极小值还是极大值
（4）求出极值点的函数值
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函数最值求解步骤
\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续
（1）求出\(f(x)\)在\((a,b)\)内的驻点及不可导点
（2）计算\(f(x)\)在上述驻点、不可导点处的函数值及\(f(a),f(b)\)
（3）比较（2）中值的大小，其中最大的是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值，最小的是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最小值
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曲率
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弧微分公式 \(ds=\sqrt{1+y\’^2}dx\)
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曲率\(K=\lim\limits_{\Delta s \to 0}|\dfrac{\Delta \alpha}{\Delta s}|\)
（1）当曲线的方程为\(y=f(x)\)，则\(K=\dfrac{|y{\’\’}|}{(1+y\’^2)^{\frac{3}{2}}}\)
（2）当曲线的方程为参数方程\(x=\varphi(t),y=\psi(t)\)构成，则\(K=\dfrac{|\varphi\'(t)\psi{\’\’}(t)-\varphi{\’\’}(t)\psi\'(t)|}{[\varphi\’^2(t)+\psi\’^2(t)]^\frac{3}{2}}\)
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曲率半径，\(K=|\dfrac{d \alpha}{d s}|=\dfrac{1}{a}\)，互为倒数
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渐近线
- 水平渐近线：\(\lim\limits_{x \to \infty}y=A \Longleftrightarrow y=A\)是曲线\(y=y(x)\)的一条水平渐近线
- 铅直渐近线：\(\lim\limits_{x \to x_0}y=\infty \Longleftrightarrow x=x_0\)是曲线\(y=y(x)\)的一条铅直渐近线
- 斜渐近线：\(\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{y}{x}=k,\)且\(\lim\limits_{x \to \infty}(y-kx)=b \Longleftrightarrow y=kx+b\)是曲线\(y=y(x)\)的一条斜渐近线
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原函数
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定义
如果在区间\(I\)上，可导函数\(F(x)\)的导函数为\(f(x)\)，即对任意\(x \in I\)，都有\(F\'(x)=f(x)\)或\(dF(x)=f(x)dx\)，那么函数\(F(x)\)就称为\(f(x)\)（或\(f(x)dx\)）在区间\(I\)上的一个原函数
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原函数存在定理
（1）如果函数\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，那么在区间\(I\)上存在可导函数\(F(x)\)，使对任意\(x \in I\)都有\(F\'(x) = f(x)\)
（2）含有第一类间断点或无穷间断点的函数在包含该间断点在内的任何区间内都没有原函数
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不定积分的定义
- 在区间\(I\)上，函数\(f(x)\)的带有任意常数项的原函数称为\(f(x)\)（或\(f(x)dx\)）在区间\(I\)上的不定积分，记做\(\int f(x)dx\)，其中\(\int\)称为积分号，\(f(x)\)称为被积函数，\(f(x)dx\)称为被积表达式，x称为积分变量
- 不定积分\(\int f(x)dx=F(x)+C\)可以表示\(f(x)\)的任意一个原函数
- \(\int dF(x)=F(x)+C\)，微分运算和积分运算是互逆的
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不定积分的性质
- 设函数\(f(x)\)及\(g(x)\)的原函数存在，则\(\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx\)
- 设函数\(f(x)\)的原函数存在，\(k\)为非零常数，则\(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
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换元积分法
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设\(f(u)\)具有原函数，\(u=\varphi(x)\)可导，则有换元公式\(\int f[\varphi(x)]\varphi\'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\varphi(x)}\)
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设\(x=\psi (t)\)是单调的可导函数，并且\(\psi\’ (t) \neq 0\).又设\(f[\psi (t)]\psi\’ (t)\)具有原函数，则\(\int f(x)dx=[\int f[\psi (t)]\psi\’ (t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)}\)，其中\(\psi^{-1}(x)\)是\(x=\psi(t)\)的反函数
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常用的换元形式：
（1）三角换元：\(\sqrt{a^2-x^2} \rightarrow x=asin t, \sqrt{a^2+x^2} \rightarrow x=atan t, \sqrt{x^2-a^2} \rightarrow x=asec t\)
（2）整体换元：\(\sqrt[n]{ax+b} = t, \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}=t\)
（3）倒代换：分母次幂比分子高两次以上，\(\dfrac{1}{x} = t\)
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分部积分法
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分部积分公式 \(\int udv=uv-\int vdu\)
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分布积分选取\(u,dv\)的注意点
（1）\(v\)要容易求得
（2）\(\int vdu\)要比\(\int udv\)容易积出
（3）选取\(u\)的顺序，反对幂三指
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有理函数的积分
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有理函数的概念
两个多项式的商\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\)称为有理函数，又称有理分式，分子多项式\(P(x)\)的次数小于分母多项式\(Q(x)\)的次数，称有理函数为真分式，否则称为假分式，假分式可以直接拆成部分分式之和，真分式需要设方程求解
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有理函数真分式的拆分
（1）\(Q(x)\)的一次因式\(ax+b\)产生\(\dfrac{A}{ax+b}\)
（2）\(Q(x)\)的\(k\)重因式\((ax+b)^k\)产生\(k\)项，分别为\(\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(ax+b)^k}\)
（3）\(Q(x)\)的二次单因式\(px^2+qx+r\)产生一项\(\dfrac{Ax+B}{px^2+qx+r}\)
（4）\(Q(x)\)的\(k\)重二次单因式\((px^2+qx+r)^k\)产生\(k\)项\(\dfrac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r}+\dfrac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2}+\cdots+\dfrac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k}\)
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有理函数真分式拆分的例子
如\(\int \dfrac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx=\int \dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{Bx+D}{x^2+x+1}dx\)，其中形如\(\int \dfrac{ax+b}{x^2+px+q}dx,(p^2-4q \lt 0)\)这类的不定积分，可以使用待定系数\(\int \dfrac{C(x^2+px+q)+D}{x^2+px+q}dx\)确定\(C,D\)的值，然后再求
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三角有理式的积分
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万能代换：令\(u=tan\dfrac{x}{2}\)则\(sinx = \dfrac{2u}{1+u^2}, cosx = \dfrac{1-u^2}{1+u^2}, dx=\dfrac{2}{1+u^2}du\)
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三角恒等变形：\(sin^2x + cos^2x = 1, cos2x = 2cos^2x-1, sin2x = 2sinxcosx, sinx = cos(\dfrac{\pi}{2}-x)\)
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一般规律：\(R(sin x,cos x) = -R(-sin x, cos x)\)凑\(dcos x\)，\(R(sin x,cos x) = -R(sin x, -cos x)\)凑\(dsin x\)，\(R(sin x,cos x) = R(-sin x, -cos x)\)凑\(dtan x\)
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常用积分表
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定积分基本概念
- 设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，在\([a,b]\)中任意插入若干个分点\(a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt … \lt x_{n-1}\lt x_n=b\)，把区间\([a,b]\)分成\(n\)个小区间\([x_0,x_1], [x_1, x_2], …, [x_{n-1}, x_n]\)各个小区间的长度依次为，\(\Delta x_1=x_1-x_0, \Delta x_2=x_2-x_1, \Delta x_n=x_{n-1}-x_n\)，在每个小区间\([x_{i-1}, x_i]\)上任取一点\(\xi_i(x_{i-1} \leq \xi_i \leq x_i)\)，做函数值\(f(\xi_i)\)与小区间长度\(\Delta x_i\)的乘积，\(f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,…,n)\)，并作出和\(S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\)，记\(\lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,…,\Delta x_n\}\)，如果当\(\lambda \to 0\)时，这和的极限总存在，且与闭区间\([a,b]\)的分法及点\(\xi_i\)的取法无关，那么称这个极限\(I\)为函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分（简称积分），记做\(\int^b_af(x)dx\)，即\(\int^b_af(x)dx=I=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\)，其中\(f(x)\)称为被积函数，\(f(x)dx\)称为被积表达式，\(x\)叫积分变量，\(a\)叫积分下限，\(b\)叫积分上限，\([a,b]\)叫积分区间
- 如果闭区间\([a,b]\)等分，则\(\int^b_af(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(a+\dfrac{b-a}{n}i)\dfrac{b-a}{n}\)
- 定积分的几何意义：\(\int^b_af(x)dx\)表示\(x\)轴上方图形面积减去\(x\)轴下方图形面积所得之差
- 当\(b=a\)时，\(\int^b_af(x)dx=0\)
- 当\(a \gt b\)时，\(\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx\)
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函数可积的条件
- 设\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，并且积分函数\(F(x)=\int^x_af(t)dt\)连续
- 函数是否可积和有没有原函数无关
- 设\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界，且只有有限个间断点，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积
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定积分的性质
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设\(\alpha\)与\(\beta\)均为常数，则\(\int^b_a[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx = \alpha\int^b_a f(x)dx + \beta\int^b_a g(x)dx\)
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设\(a \lt c \lt b\)，则\(\int^b_a f(x)dx=\int^c_a f(x)dx + \int^b_c f(x)dx\)
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\(\int^b_a 1dx = \int^b_a dx = b – a\)
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如果在区间\([a,b]\)上\(f(x) \geq 0\)，那么\(\int^b_a f(x)dx \geq 0\;\;(a \lt b)\)
（1）推论1：如果在区间\([a,b]\)上\(f(x) \leq g(x)\)，那么\(\int^b_a f(x)dx \leq \int^b_a g(x)dx\;\;(a \lt b)\)
（2）推论2：\(|\int^b_a f(x)dx| \leq \int^b_a |f(x)|dx\;\;(a \lt b)\)
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设\(M\)及\(m\)分别是函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值和最小值，则\(m(b-a) \leq \int^b_a f(x)dx \leq M(b-a)\;\;(a \lt b)\)
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定积分中值定理：如果函数\(f(x)\)在积分区间\([a,b]\)上连续，那么在\([a,b]\)上至少存在一个点\(\xi\)，使下式成立：\(\int^b_a f(x)dx=f(\xi)(b-a)\;\;(a \leq \xi \leq b)\). 利用牛顿-莱布尼兹公式和拉格朗日中值定理可以证明上述定理在开区间\((a,b)\)同样成立
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奇偶性
（1）如果\(f(x)\)是奇函数，那么\(\int^x_0 f(t)dt\)是偶函数
（2）如果\(f(x)\)是偶函数，那么\(\int^x_0 f(t)dt\)是奇函数
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微积分基本公式
- 如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，那么积分上限的函数\(\Phi(x)=\int^x_a f(t)dt\)在\([a,b]\)上可导，并且导数为\(\Phi\'(x)=\dfrac{d}{dx}\int^x_a f(t)dt=f(x)\;\;(a \leq x \leq b)\)，被积函数\(f(t)\)中不含\(x\)，如果含有\(x\)需要采用换元求解
- \(F(x)=\int^{\phi_2(x)}_{\phi_1(x)}f(t)dt\)，则\(F\'(x)=f(\phi_2(x))\phi_2\'(x)-f(\phi_1(x))\phi_1\'(x)\)
- 如果函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，那么函数\(\Phi(x)=\int^x_a f(t)dt\)就是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一个原函数
- 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数\(F(x)\)是连续函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的一个原函数，那么\(\int^b_a f(x)dx=F(b)-F(a)\)
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定积分的求解方法
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定积分的换元法
设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，函数\(x=\varphi (t)\)满足条件：\(\varphi (\alpha)=a, \varphi (\beta)=b\)，\(\varphi (t)\)在\([\alpha, \beta]\)（或\([\beta, \alpha]\)）上具有连续导数，且其值域\(R_\varphi = [a,b]\)，则有\(\int^b_a f(x)dx = \int^\beta_\alpha f[\varphi(t)]\varphi\'(t)dt\)
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定积分的分部积分法，\(\int^b_a udv=[uv]^b_a-\int^b_a vdu\)
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定积分求解的特色求法
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利用奇偶性
（1）积分上下限关于原点对称，并且\(f(x)\)是奇函数，则积分为零
（2）积分上下限关于原点对称，并且\(f(x)\)是偶函数，则积分为\(2\int^a_0f(x)dx\)
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利用周期性
\(\int^{a+T}_af(x)dx=\int^T_0f(x)dx\)
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利用基本公式
（1）\(\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0sin^nxdx=\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0cos^nxdx\)当\(n\)为正奇数，结果为\(\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\)，当\(n\)为正偶数，结果为\(\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi}{2}\)
（2）\(\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0f(sinx)dx=\int^{\dfrac{\pi}{2}}_0f(cosx)dx\)
（3）\(\int^{\pi}_0xf(sinx)dx=\dfrac{\pi}{2}\int^{\pi}_0f(sinx)dx\)
（4）\(\int^1_0x^m(1-x)^ndx=\int^1_0x^n(1-x)^mdx\)
（5）\((\int^b_af(x)g(x)dx)^2 \leq \int^b_af^2(x)dx\int^b_ag^2(x)dx\)
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反常积分
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无穷限的反常积分
（1）设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续，如果极限\(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{t \to +\infty}\int^t_af(x)dx\)存在，那么称反常积分\(\int^{+\infty}_{a}f(x)dx\)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散
（2）设函数\(f(x)\)在区间\([-\infty,b)\)上连续，如果极限\(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{t \to -\infty}\int^b_tf(x)dx\)存在，那么称反常积分\(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx\)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散
（3）设函数\(f(x)\)在区间\((-\infty,+\infty)\)上连续，如果反常积分\(\int_{-\infty}^{0}f(x)dx\)与反常积分\(\int^{+\infty}_{0}f(x)dx\)均收敛，那么称反常积分\(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx\)收敛，并称反常积分\(\int_{-\infty}^{0}f(x)dx\)的值与反常积分\(\int^{+\infty}_{0}f(x)dx\)的值之和为反常积分\(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx\)的值，否则就称反常积分\(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx\)发散
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无界函数的反常积分
（1）设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，点\(a\)为\(f(x)\)的瑕点（无界），如果极限\(\int^b_af(x)dx=\lim\limits_{t \to a^+}\int^b_tf(x)dx\)存在，那么称反常积分\(\int^b_af(x)dx\)收敛，并称此极限为该反常积分的值，如果极限不存在，那么称反常积分\(\int^b_af(x)dx\)发散
（2）设函数\(f(x)\)在区间\([a,b)\)上连续，点\(b\)为\(f(x)\)的瑕点（无界），如果极限\(\int^b_af(x)dx=\lim\limits_{t \to b^-}\int^t_af(x)dx\)存在，那么称反常积分\(\int^b_af(x)dx\)收敛，并称此极限为该反常积分的值，如果极限不存在，那么称反常积分\(\int^b_af(x)dx\)发散
（3）设函数\(f(x)\)在区间\([a,c)\)和\((c,b]\)上连续，点\(c\)为\(f(x)\)的瑕点，如果反常积分\(\int^c_af(x)dx\)与反常积分\(\int^b_cf(x)dx\)均收敛，那么称反常积分\(\int^b_af(x)dx\)收敛，并称反常积分\(\int^c_af(x)dx\)的值与反常积分\(\int^b_cf(x)dx\)的值之和为反常积分，\(\int^b_af(x)dx\)的值，否则，就称反常积分\(\int^b_af(x)dx\)发散
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基本结论：
（1）\(\int^{+\infty}_a\dfrac{dx}{x^p}\quad(a \gt 0)\)，当\(p \gt 1\)收敛，\(p \leq 1\)发散
（2）\(\int^a_b\dfrac{dx}{(x-a)^p}\)，当\(p \lt 1\)收敛，\(p \geq 1\)发散
（3）如果\(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx\)存在，则当\(f(x)\)是奇函数为\(0\)，偶函数为\(2\int^{+\infty}_0f(x)dx\)
（4）反常积分\(\int^{+\infty}_2\dfrac{dx}{x(lnx)^k}\)，当\(k \gt 1\)收敛，\(k \leq 1\)发散
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定积分敛散性的判断方法
（1）直接计算法：如果被积函数原函数容易求得，则使用定义判断敛散性即可
（2）设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续，且\(f(x) \geq 0\)，如果存在常数\(p \gt 1\)，使得\(\lim\limits_{x \to +\infty}x^pf(x)\)存在，那么反常积分\(\int^{+\infty}_af(x)dx\)收敛；如果\(\lim\limits_{x \to +\infty}xf(x)=c \gt 0\)或者\(\lim\limits_{x \to +\infty}xf(x)=+\infty\)，那么反常积分\(\int^{+\infty}_af(x)dx\)发散
（3）设函数\(f(x)\)在区间\((a, b]\)上连续，且\(f(x) \geq 0\)，\(x=a\)为\(f(x)\)的瑕点，如果存在常数\(0 \lt q \lt 1\)，使得\(\lim\limits_{x \to a^+}(x-a)^qf(x)\)存在，那么反常积分\(\int^b_af(x)dx\)收敛；如果\(\lim\limits_{x \to a^+}(x-a)f(x)=d \gt 0\)或者\(\lim\limits_{x \to a^+}(x-a)f(x)=+\infty\)，那么反常积分\(\int^b_af(x)dx\)发散
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定积分的应用
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平面图形的面积
（1）曲线\(y=f(x)\)与\(y=g(x)\)（\(g(x) \geq f(x)\)）及\(x=a,x=b\)围成的平面图形的面积\(A=\int^b_ag(x)-f(x)dx\)
（2）极坐标曲线\(r=r(\theta)\)介于两射线\(\theta=\alpha\)与\(\theta=\beta\)（\(0 \lt \beta-\alpha \leq 2\pi\)）之间的曲边扇形的面积，\(dA=\dfrac{1}{2}[\rho(\theta)]^2d\theta,A=\dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta \rho^2(\theta)d\theta\)
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体积
（1）旋转体体积：曲线\(y=f(x)\)与\(x=a,x=b\)及\(x\)轴围成的曲边梯形绕\(x\)轴旋转一周而成的立体体积，\(dV=\pi[f(x)]^2dx,V=\int_a^b\pi[f(x)]^2dx\)
（2）曲线\(y=f(x)\)与\(x=a,x=b\)及\(x\)轴围成的曲边梯形绕\(y\)轴旋转一周而成的立体体积，\(dV=2\pi xf(x)dx,V=\int_a^b2\pi xf(x)dx\)
（3）平行截面面积为已知的立体体积：截面\(A(x)\)表示过点\(x\)且垂直于\(x\)轴的截面面积，\(dV=A(x)dx,V=\int_a^bA(x)dx\)
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平面曲线的弧长
（1）曲线弧由参数方程\(x=\varphi(t), y=\psi(t)\)给出，则\(ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\varphi\’^2(t)+\psi\’^2(t)}dt,s=\int_a^b\sqrt{\varphi\’^2(t)+\psi\’^2(t)}dt\)
（2）曲线弧由直角坐标方程\(y=f(x)\)给出，\(s=\int_a^b\sqrt{1+y\’^2}dx\)
（3）曲线弧由极坐标方程\(\rho=\rho(\theta)\)给出，可以转化成参数方程\(x=\rho(\theta)cos\theta,y=\rho(\theta)sin\theta\)则\(ds=\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho\’^2(\theta)}d\theta\)
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表面积
曲线\(y=f(x)\)与\(x=a,x=b\)及\(x\)轴围成的曲边梯形绕\(x\)轴旋转一周而成的立体的表面积\(dS=2\pi f(x)ds,S=\int^b_a2\pi f(x)\sqrt{1+f\'(x)}dx\)
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常用曲线的图形
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函数的平均值
设\(x \in [a,b]\)，函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上的平均值为\(\overline f=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\)
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基本概念
- 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程
- 未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶
- 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数和微分方程的阶数相同，这样的解称为通解
- 根据初值条件确定了通解中的任意常数之后就得到微分方程的特解
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可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成\(g(y)dy=f(x)dx\)的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
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齐次方程
如果一阶微分方程可化为\(\dfrac{dy}{dx}=\varphi(\dfrac{y}{x})\)的形式，那么就称这方程为齐次方程，令\(u=\dfrac{y}{x}\)带入方程得，\(\dfrac{du}{\varphi(u)-u}=\dfrac{dx}{x}\)
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一阶线性微分方程
（1）方程\(\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)叫做一阶线性微分方程，如果\(Q(x)=0\)那么方程称为齐次的，否则称为非齐次的
（2）套用公式求解：因为\(e^{\int P(x)dx}y\’+P(x)ye^{\int P(x)dx}=Q(x)e^{\int P(x)dx}=(e^{\int P(x)dx}y)\’\)，所以\(y=e^{-\int P(x)dx}[\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C]\)
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可降阶的高阶微分方程
- \(y^{(n)}=f(x)\)型的微分方程，对\(x\)反复积分即可，\(n\)阶方程就有\(n\)个参数
- \(y{\’\’}=f(x,y\’)\)型的微分方程，设\(y\’=p\)，则\(\dfrac{dp}{dx}=f(x,p)\)
- \(y{\’\’}=f(y,y\’)\)型的微分方程，设\(y\’=p\)，则\(y{\’\’}=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\bullet \dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)\)
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高阶线性微分方程
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二阶线性微分方程
方程\(y{\’\’}+P(x)y\’+Q(x)y=f(x)\)叫做二阶线性微分方程，当\(f(x)=0\)时，方程叫做齐次的，否则叫做非齐次的
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二阶齐次线性微分方程
（1）如果函数\(y_1(x)\)与\(y_2(x)\)是方程的两个解，那么\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)也是方程的解，其中\(C_1,C_2\)是任意常数
（2）设\(y_1(x),y_2(x),…,y_n(x)\)为定义在区间\(I\)上的\(n\)个函数，如果存在\(n\)个不全为零的常数\(k_1,k_2,…,k_n\)，使得当\(x \in I\)时有恒等式\(k_1y_1+k_2y_2+…+k_ny_n=0\)成立，那么称这n个函数在区间\(I\)上线性相关，否则线性无关
（3）如果\(y_1(x)\)与\(y_2(x)\)是方程的两个线性无关的特解，那么\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)是方程的特解，\(C_1,C_2\)是任意常数
（4）如果\(y_1(x),y_2(x),…,y_n(x)\)是\(n\)阶齐次线性方程\(y^{(n)}+a_1(x)y^{n-1}+…+a_{n-1}(x)y\’+a_n(x)y=0\)，的n个线性无关的解，那么此方程的通解为\(y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+…+C_ny_n(x)\)，其中\(C_1,C_2,…,C_n\)都是常数
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二阶非齐次线性微分方程
（1）设\(y^*(x)\)是二阶非齐次线性方程\(y\’\’+P(x)y\’+Q(x)y=f(x)\)的一个特解，\(Y(x)\)是对应齐次方程的通解，则\(y=Y(x)+y^*(x)\)
（2）设非齐次线性方程的右端\(f(x)\)是两个函数之和，即\(y{\’\’}+P(x)y\’+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)\)，而\(y_1^*(x),y_2^*(x)\)分别是方程\(y{\’\’}+P(x)y\’+Q(x)y=f_1(x)\)和\(y{\’\’}+P(x)y\’+Q(x)y=f_2(x)\)的特解，则\(y_1^*(x)+y_2^*(x)\)就是原方程的特解
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常系数齐次线性微分方程
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\(y{\’\’}+py\’+qy=0\)，其中\(p,q\)是常数，则称方程为二阶常系数齐次线性微分方程，如果\(p,q\)不全为常数，称为二阶变系数齐次线性微分方程
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设\(y=e^{rx}\)，代入上式\((r^2+pr+q)e^{rx}=0\)，则\(r^2+pr+q=0\)叫做微分方程的特征方程，特征方程的两根\(r_{1,2}=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}\)，有如下三种情形
（1）当\(p^2-4q \gt 0\)时，\(r_1=\dfrac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},r_2=\dfrac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\)，得微分方程的通解为\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
（2）当\(p^2-4q = 0\)时，\(r_1=r_2=-\dfrac{p}{2}\)，得微分方程的通解为\(y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}\)
（3）当\(p^2-4q \lt 0\)时，\(r_1,r_2\)是一对共轭复根\(r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i\)其中\(\alpha=-\dfrac{p}{2},\beta=\dfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\)，得微分方程的通解为\(y=e^{\alpha x}(C_1cos \beta x+C_2sin \beta x)\)
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常系数非齐次线性微分方程
方程\(y{\’\’}+P(x)y\’+Q(x)y=f(x)\)其中\(f(x)\)不为零，求特解的方法如下
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若\(f(x)=P_n(x)e^{ax}\)，方程特解为\(y^* = e^{ax}Q_n(x)x^k\)，其中\(Q_n(x)\)是\(x\)的\(n\)次一般多项式，如二次一般多项式\(ax^2+bx+c\)
（1）\(a\)不是特征方程的根，\(k\)取\(0\)
（2）\(a\)是特征方程的单根，\(k\)取\(1\)
（3）\(a\)是特征方程的重根，\(k\)取\(2\)
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若\(f(x)=e^{ax}[P_m(x)cos \beta x + P_n(x)sin \beta x]\)，方程的特解为\(y^*=x^ke^{ax}[R_l^{(1)}(x)cos \beta x + R_l^{(2)}(x)sin \beta x]\)，其中\(R_l^{(1)}(x),R_l^{(2)}(x)\)是\(l\)次一般多项式，\(l=max\{m,n\}\)
（1）\(a \pm \beta i\)不是特征方程的根，\(k\)取\(0\)
（2）\(a \pm \beta i\)是特征方程的根，\(k\)取\(1\)
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基本概念
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平面点领域
（1）设\(P_0(x_0, y_0)\)是\(xOy\)平面上的一个点，\(\delta\)是某个正数，与点\(P_0(x_0, y_0)\)距离小于\(\delta\)的点\(P(x, y)\)的全体，称为点\(P_0\)的\(\delta\)邻域，记作\(U(P_0, \delta)\)，即\(U(P_0,\delta)=\{P|\;|PP_0| \lt \delta\}\)去心邻域记作，\(\mathring U (P_0, \delta)=\{P|0 \lt |PP_0| \lt \delta\}\)
（2）内点：点\(P\)的邻域\(U(P) \subset E\)，那么称\(P\)为\(E\)的内点
（3）外点：点\(P\)的邻域\(U(P) \cap E = \varnothing\)，那么称\(P\)为\(E\)的外点
（4）边界点：点\(P\)的邻域\(U(P)\)，既含有\(E\)的点又含有\(E\)之外的点，那么称\(P\)为\(E\)的边界点
（5）聚点：任意\(\delta \gt 0\)，点\(P\)的邻域\(\mathring U (P_0, \delta)\)内总有\(E\)的点，那么称\(P\)为\(E\)的聚点
（6）开集：点集\(E\)的点都是\(E\)的内点
（7）闭集：点集\(E\)的边界在\(E\)的内部
（8）连通集：点集\(E\)内任意两点的连线都在\(E\)的内部
（9）区域：连通的开集
（10）闭区域：连通的闭集
（11）有界集：存在\(r\)使得\(E \subset U(O, r)\)成立，\(O\)是原点
（12）无界集：不是有界集
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多元函数的概念
设\(D\)是\(R^2\)的一个非空子集，称映射\(f: D \to R\)为定义在\(D\)上的二元函数，通常记为\(z = f(x,y), (x,y) \in D\)，其中，点集\(D\)称为函数的定义域，\(x,y\)称为自变量，\(z\)称为因变量
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多元函数的极限（二重极限）
（1）设二元函数\(f(p)=f(x,y)\)的定义域\(D\)，\(P_0(x_0, y_0)\)是\(D\)的聚点，如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，使得当点\(P(x,y) \in D \cap \mathring U (P_0, \delta)\)时，都有\(|f(P)-A|=|f(x,y)-A| \lt \varepsilon\)成立，那么就称常数\(A\)为函数\(f(x,y)\)当\((x,y) \to (x_0, y_0)\)时的极限，记做\(\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y) = A\)
（2）当点\(P(x,y)\)以不同的方式趋于\(P_0(x_0,y_0)\)时，\(f(x,y)\)趋于不同的值，那么极限不存在
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多元函数的连续性
（1）设二元函数\(f(P)=f(x,y)\)的定义域为\(D\)，\(P_0(x_0, y_0)\)为\(D\)的聚点，且\(P_0 \in D\)，如果\(\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\)，那么称函数\(f(x,y)\)在点\(P_0(x_0,y_0)\)连续
（2）如果函数\(f(x,y)\)在\(D\)上每一点都连续，则称为\(D\)上的连续函数
（3）设函数\(f(x,y)\)的定义域为\(D\)，\(P_0(x_0,y_0)\)是\(D\)的聚点，如果函数\(f(x,y)\)在点\(P_0(x_0,y_0)\)不连续，那么称\(P_0(x_0,y_0)\)为函数\(f(x,y)\)的间断点
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有界闭区间上连续的多元函数的性质
（1）有界性与最大值最小值定理：在有界闭区域\(D\)上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值
（2）介值定理：在有界闭区域\(D\)上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值
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偏导数
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定义
（1）设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的某一邻域内有定义，当\(y\)固定在\(y_0\)而\(x\)在\(x_0\)处有增量\(\Delta x\)时，相应的函数有增量\(f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)\)，如果\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\)存在，那么称此极限为函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处对\(x\)的偏导数，记作\(\dfrac{\partial z}{\partial x}|_{ x=x_0,y=y_0},\dfrac{\partial f}{\partial x}|_{ x=x_0,y=y_0},z_x|_{ x=x_0,y=y_0},f_x(x_0,y_0)\)
（2）如果在区域\(D\)每一点\((x,y)\)都有\(x\)偏导数，这个函数称\(z=f(x,y)\)为\(x\)的偏导函数，记作\(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial x},z_x,f_x(x,y)\)
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几何意义
（1）设\(M_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\)为曲面\(z=f(x,y)\)上的一点，过\(M_0\)做平面\(y=y_0\)截得一曲线，则偏导数\(f_x(x_0,y_0)\)就是曲线在点\(M_0\)处的切线对\(x\)轴的斜率
（2）各偏导数存在不能保证函数在该点连续
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二阶偏导数
（1）\(\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial z}{\partial x})=\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)\)
（2）\(\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial z}{\partial x})=\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)\)
（3）\(\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial z}{\partial y})=\dfrac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)\)
（4）\(\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial z}{\partial y})=\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)\)
（5）如果函数\(z=f(x,y)\)的两个二阶混合偏导数\(\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y},\dfrac{\partial^2z}{\partial y\partial x}\)在区域\(D\)内连续，那么它们在该区域内相等
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全微分
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定义
（1）设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)的某邻域内有定义，如果函数在点\((x,y)\)的全增量\(\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\)，可表示为\(\Delta z=A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)\)，其中\(A,B\)不依赖于\(\Delta x,\Delta y\)而仅与\(x,y\)有关，\(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)，那么称函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)可微分，而\(A\Delta x + B\Delta y\)称为函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)的全微分，记做\(dz\)，即\(dz = A\Delta x + B\Delta y\)
（2）如果函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)可微分，那么函数在该点必连续
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可微必要条件
（1）如果函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)可微分，那么该函数在点\((x,y)\)的偏导数\(\dfrac{\partial z}{\partial x}\)与\(\dfrac{\partial z}{\partial y}\)必定存在，且函数\(z=f(x,y)\)在点\((x,y)\)的全微分为\(dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\Delta y\)，习惯上写成\(dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy\)
（2）各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件
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可微充分条件
如果函数\(z=f(x,y)\)的偏导数\(\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}\)在点\((x,y)\)连续，那么函数在该点可微分
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判断函数是否可微的步骤
（1）函数偏导数不存在则不可微
（2）检查极限\(\lim\limits_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)-f\’_x(x_0,y_0)\Delta x-f\’_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0\)也就是\(\lim\limits_{x \to x_0, y \to y_0}\dfrac{f(x,y)-f(x_0, y_0)-f\’_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f\’_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\)
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全微分形式不变形
设函数\(z=f(u,v)\)具有连续偏导数，则有全微分\(dz=\dfrac{\partial z}{\partial u}du+\dfrac{\partial z}{\partial v}dv\)
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可导，可微，连续的关系
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多元复合函数的求导法则
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一元函数与多元函数复合
如果函数\(u=\varphi(t),v=\psi(t)\)都在点\(t\)可导，函数\(z=f(u,v)\)在对应点\((u,v)\)具有连续偏导数，那么复合函数\(z=f[\varphi(t),\psi(t)]\)在点\(t\)可导，且有\(\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{du}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{dv}{dt}\)
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多元函数与多元函数复合
如果函数\(u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)\)都在点\((x,y)\)具有对\(x\)及对\(y\)的偏导数，函数\(z=f(u,v)\)在对应点\((u,v)\)具有连续偏导数，那么复合函数\(z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]\)在点\((x,y)\)的两个偏导数都存在，且有\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}\)
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其他情形
如果函数\(u=\varphi(x,y)\)，在点\((x,y)\)具有对\(x\)及对\(y\)的偏导数，函数\(v=\psi(y)\)在点\(y\)可导，函数\(z=f(u,v)\)在对应点\((u,v)\)具有连续偏导数，那么复合函数\(z=f[\varphi(x,y),\psi(y)]\)在点\((x,y)\)的两个偏导数都存在，且有\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial z}{\partial v}\dfrac{dv}{dy}\)
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隐函数的求导公式
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二元方程确定一元函数
设函数\(F(x,y)\)在点\(P(x_0,y_0)\)的某一邻域内具有连续的偏导数，且\(F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0) \neq 0\)，则方程\(F(x,y)=0\)在点\((x_0,y_0)\)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数\(y=f(x)\)，它满足条件\(y_0=f(x_0)\)，并有\(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}\)
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三元方程确定二元函数
设函数\(F(x,y,z)\)在点\(P(x_0,y_0,z_0)\)的某一邻域内具有连续偏导数，且\(F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x_0,y_0,z_0) \neq 0\)，则方程\(F(x,y,z)=0\)在点\((x_0,y_0,z_0)\)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，\(z=f(x,y)\)，它满足条件\(z_0=f(x_0,y_0)\)，并有\(\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z},\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z}\)
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注意点
如果对隐函数直接求导，注意因变量与求导的自变量有关系，如果利用上述公式，变量的地位等同
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多元函数的极值及其求法
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多元函数的极值
设函数\(z=f(x,y)\)的定义域为\(D\)，\(P_0(x_0,y_0)\)为\(D\)的内点，若存在\(P_0\)的某个邻域\(U(P_0)\subset D\)，使得对于该邻域内异于\(P_0\)的任何点\((x,y)\)，都有\(f(x,y) \lt f(x_0,y_0)\)，则称为函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)有极大值\(f(x_0,y_0)\)，如果\(f(x,y) \gt f(x_0, y_0)\)则为极小值
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极值存在的必要条件
（1）设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)具有偏导数，且在点\((x_0,y_0)\)处有极值，则有\(f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0\)
（2）凡是能使\(f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0\)同时成立的点，称为驻点
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充分条件
设函数\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又\(f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0\)，令\(f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C\)则\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)处是否取极值的条件如下
（1）\(AC-B^2 \gt 0\)时具有极值，且当\(A \lt 0\)时具有极大值，\(A \gt 0\)时具有极小值
（2）\(AC-B^2 \lt 0\)时没有极值
（3）\(AC-B^2 = 0\)时可能有极值也可能没有
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求极值的步骤
（1）解方程组\(f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0\)，求得驻点
（2）求每一个驻点的\(f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=c\)
（3）判断\(AC-B^2\)的符号
（4）偏导数不存在的点也可能是极值点
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条件极值（拉格朗日乘数法）
（1）求函数\(z=f(x,y)\)在附加条件\(\varphi(x,y)=0\)下的可能极值点，先构造拉格朗日函数\(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)\)，可以得出如下方程组
\[\begin{cases}
L_x = f_x(x,y)+\lambda \varphi_x(x,y)=0,\\
L_y = f_y(x,y)+\lambda \varphi_y(x,y)=0,\\
L_\lambda = \varphi(x,y)=0
\end{cases}
\]解出\(x,y,\lambda\)，求出的\((x,y)\)就是函数的可能极值点，从而求得最值
（2）如果有多个附加条件，如函数\(u=f(x,y,z,t)\)，附加条件\(\varphi(x,y,z,t)=0,\psi(x,y,z,t)=0\)，设拉格朗日函数\(L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda \varphi(x,y,z,t)+\mu \psi(x,y,z,t)\)
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求一个区域最值的步骤
（1）求区域内的驻点
（2）求边界点的可能极值点，利用拉格朗日乘数法
（3）比较上面两种点的大小
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基本概念
（1）设\(f(x,y)\)是有界闭区域\(D\)上的有界函数，将闭区域\(D\)任意分成\(n\)个小闭区域\(\Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2,…,\Delta \sigma_n\)，其中\(\Delta \sigma_i\)表示第\(i\)个小闭区域，也表示它的面积。在每个\(\Delta \sigma_i\)上任取一点\((\xi_i,\eta_i)\)，作乘积\(f(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)，并作和\(\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i\)，如果当各小闭区域的直径中的最大值\(\lambda \to 0\)时，这和的极限总存在，且与闭区域\(D\)的分法及点\((\xi_i,\eta_i)\)的取法无关，那么称此极限为函数\(f(x,y)\)在闭区域\(D\)上的二重积分，记做\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta \sigma_i=\iint_Df(x,y)dxdy\)，其中\(f(x,y)\)叫做被积函数，\(f(x,y)d\sigma\)叫做被积表达式，\(d\sigma\)叫做面积元素
（2）二重积分\(\iint_Df(x,y)dxdy\)的几何意义：区域\(D\)为底，曲面\(z=f(x,y)\)为顶的曲顶柱体的体积
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二重积分的性质
- 设\(\alpha,\beta\)为常数，则\(\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma=\alpha \iint_Df(x,y)d\sigma+\beta \iint_Dg(x,y)d\sigma\)
- 如果闭区域\(D\)被有限条曲线分成有限个部分闭区域，那么在\(D\)上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma\)
- 如果在\(D\)上，\(f(x,y)=1\)，\(\sigma\)为\(D\)的面积，那么\(\sigma = \iint_D1d\sigma = \iint_Dd\sigma\)
- 如果在\(D\)上，\(f(x,y) \leq g(x,y)\)，那么有\(\iint_Df(x,y)d\sigma \leq \iint_Dg(x,y)d\sigma\)，又有\(|\iint_Df(x,y)d\sigma| \leq \iint_D|f(x,y)|d\sigma\)
- 设\(M\)和\(m\)分别是\(f(x,y)\)在闭区域\(D\)上的最大值和最小值，\(\sigma\)是\(D\)的面积，则有\(m\sigma \leq \iint_Df(x,y)d\sigma \leq M\sigma\)
- 设函数\(f(x,y)\)在闭区域\(D\)上连续，\(\sigma\)是\(D\)的面积，则在\(D\)上至少存在一点\((\xi, \eta)\)，使得\(\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi, \eta)\sigma\)
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二重积分的对称性
- 闭区域\(D\)关于\(y\)轴对称，若\(f(x,y)=f(-x,y)\)则\(\iint_Df(x,y)d\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\)，如果\(f(x,y)=-f(-x,y)\)则\(\iint_Df(x,y)d\sigma=0\)
- 闭区域\(D\)关于\(x\)轴对称，若\(f(x,y)=f(x,-y)\)则\(\iint_Df(x,y)d\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\)，如果\(f(x,y)=-f(x,-y)\)则\(\iint_Df(x,y)d\sigma=0\)
- 闭区域\(D\)关于\(y=x\)轴对称，则\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(y,x)d\sigma\)
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二重积分的计算
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直角坐标下的计算
（1）\(X\)型积分区域（做\(x\)轴垂直的线，与积分上下限只有两个交点），\(\iint_Df(x,y)d\sigma = \int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy]dx=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy\)
（2）\(Y\)型积分区域（做\(y\)轴垂直的线，与积分上下限只有两个交点），\(\iint_Df(x,y)d\sigma = \int_a^b[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dx]dy=\int_a^bdy\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dx\)
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极坐标下的计算
（1）\(\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(\rho cos\theta,\rho sin\theta)\rho d\rho d\theta=\int_\alpha^\beta[\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho cos\theta,\rho sin\theta)\rho d\rho]d\theta\)
（2）\(\sigma=\iint_D\rho d\rho d\theta=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\rho d\rho=\dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta[\varphi_2^2(\theta)-\varphi_1^2(\theta)]d\theta\)
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二重积分的应用
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曲面的面积
（1）把曲面投影到\(xOy\)面上，\(dA=\dfrac{d\sigma}{cos \gamma}=\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}d\sigma\)
（2）把曲面投影到\(yOz\)面上，\(dA=\dfrac{d\sigma}{cos \gamma}=\sqrt{1+f_y^2(x,y)+f_z^2(x,y)}d\sigma\)
（3）把曲面投影到\(zOx\)面上，\(dA=\dfrac{d\sigma}{cos \gamma}=\sqrt{1+f_z^2(x,y)+f_x^2(x,y)}d\sigma\)
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质心
面密度\(\mu(x,y)\)，则质心公式为\(\overline x = \dfrac{\iint_Dx\mu(x,y)d\sigma}{\iint_D\mu(x,y)d\sigma},\overline y = \dfrac{\iint_Dy\mu(x,y)d\sigma}{\iint_D\mu(x,y)d\sigma}\)
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形心
（1）如果面密度\(\mu(x,y)\)为常数，则此时的质心为形心，则\(\overline x = \dfrac{1}{A}\iint_Dxd\sigma,\overline y = \dfrac{1}{A}\iint_Dyd\sigma\)
（2）由此可以得出求\(\iint_Dxd\sigma=A\overline x,\iint_Dyd\sigma=A\overline y\)
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\(1^2+2^2+…+n^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
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若\(f(x)\)在\([-a, a]\)上连续且为偶函数，则\(\int^a_{-a} f(x)dx=2\int^a_0 f(x)dx\)
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若\(f(x)\)在\([-a, a]\)上连续且为奇函数，则\(\int^a_{-a} f(x)dx=0\)
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\(max(f(x), g(x))=\dfrac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}\)
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\(min(f(x), g(x))=\dfrac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}{2}\)
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\(\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \;\;\; \dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\)
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\(\dfrac{x}{1+x} \lt ln(1+x) \lt x (x \gt 0)\)
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\(sin x \lt x \lt tan x (0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2})\)
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\(\forall \alpha,\beta \gt 0, a \gt 1, n \rightarrow \infty \Rightarrow ln^{\alpha}n \lt n^{\beta} \lt a^n \lt n! \lt n^n\)
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球的体积\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3\)，球的面积\(S=4\pi R^2\)
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\(\lim\limits_{x \to 0^+}xln x=0 \rightarrow \lim\limits_{x \to 0^+}x^x=1\)
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\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)
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如果\(f(x)\)在一个区间内有三个点相等，根据罗尔定理有\(f\’\'(x)=0\)
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功\(dw=Fds\)
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水压力\(dP=\rho ghdA\)
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引力\(F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\)
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\(sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\dfrac{\pi}{4})\)
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\(sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\dfrac{\pi}{4})\)
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\(\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=max\{a_1,a_2,\cdots,a_m\} \quad (a_i \gt 0)\)
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函数\(f(x)\)在区间\([-a,a]\)上连续，则\(\int^a_{-a}f(x)dx=\int^a_0[f(x)+f(-x)]dx\)
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数学归纳法的步骤
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第一类数学归纳法
（1）证明当\(n=1\)时命题成立
（2）假设当\(n=k\)时命题成立，证明\(n=k+1\)命题成立
（3）由上述步骤可知命题成立
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第二类数学归纳法
（1）证明当\(n=1,n=2\)时命题成立
（2）假设当\(n \lt k\)时命题成立，证明当\(n=k\)命题成立
（3）由上述步骤可知命题成立
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\((a+b)^n=C^0_na^0b^n+C^1_na^1b^{n-1}+\cdots++C^n_na^nb^0\)
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